U proučavanju krugova važan koncept koji treba proučavati je tangentnih linija na krug. Da bi se provela ova studija, potrebno je razumjeti relativni položaj točke u odnosu na krug. Ako niste proučavali nešto vezano uz ovu temu, pogledajte članak Relativni položaji između točke i kruga.
Promatrajući položaj točke u odnosu na kružnicu, možemo zaključiti neke činjenice povezane s tangentnim linijama. Poznato je da postoje tri relativna položaja od točke do kruga. Za svaki ovaj položaj možemo zaključiti ponešto o tangenti koja prolazi kroz tu točku.
• Točka unutar kruga: Kroz ovu točku ne možete povući tangentu.
• Točka koja pripada krugu: kroz ovu točku možemo imati samo tangentnu liniju, jer je to tačka dodira.
• Točka izvan kruga: od ove točke možemo povući dvije linije tangente na krug.
Stoga, da bismo odredili jednadžbu tangente prave na kružnicu kroz zadanu točku, moramo nužno odrediti relativni položaj te točke. Ovaj položaj ovisi o udaljenosti od točke do središta kruga.
Moramo se sjetiti nekih važnih činjenica o analitičkoj geometriji:
• Najkraća udaljenost od točke do prave je segment okomit na ovu liniju;
• Tangentna linija uvijek će biti okomita na zraku u svojoj dodirnoj točki.
Povezujući dvije prethodne činjenice, može se reći da udaljenost od tangente do središta mora biti jednaka radijusu.
Stoga, da bismo odredili jednadžbu tangente, moramo analizirati položaj točke koju ćemo povući do crte i tako izračunati udaljenost crte koja sadrži ovu točku u odnosu na središte opseg.
Da bismo bolje razumjeli sve ove koncepte, radit ćemo s primjerima koji trebaju ova razmišljanja.
1) Odredite jednadžbu tangenti (linija) tangeta na zadani opseg, povučenu točkom P.
a) ekv. opseg: x2+ god2 - 6x - 8y = 0 P (0,0)
Uz to možemo izvući potrebne informacije za naš problem:
C (3,4), r = 5.
Sada moramo pronaći relativni položaj točke P (0,0):
Prema tome, točka P je točka tangencije.
Odredimo jednadžbu ravne crte kroz točku P.
Da bismo zapravo odredili jednadžbu pravca, još moramo saznati koliki je nagib ove linije. Jedna od činjenica koju smo vidjeli na početku ovog članka bila je okomitost tangente na polumjer kružnice. Točka P je točka tangencije, pa nagib crte koja prolazi kroz točku P i središte mora biti okomit na tangentu. Za to imamo odnos između okomitih kosina.
Drugim riječima, umnožak nagiba okomitih linija jednak je -1.
Da bismo odredili nagib segmenta računala, moramo upotrijebiti sljedeći izraz:
Time dobivamo jednadžbu tangente:
Drugi način za određivanje vrijednosti m bio bi izračunavanje udaljenosti od središta do crte. Ova je udaljenost jednaka radijusu. Da vidimo:
Kad je točka izvan kruga, trebali bismo pronaći dodirnu točku koristeći udaljenost od središta kruga do tangente, pa ćemo odrediti vrijednost kutnog koeficijenta tangente, što će, pak, odrediti jednadžbu linije tangens.
Napisao Gabriel Alessandro de Oliveira
Diplomirao matematiku
Brazilski školski tim
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm
