Mnoštvo korijena

U rješavanju jednadžbe 2. stupnja x² - 6x + 9 = 0, nalazimo dva korijena jednaka 3. Koristeći teorem dekompozicije, faktoriramo polinom i dobivamo:
x² - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)²
U ovom slučaju kažemo da je 3 korijen višestrukosti 2 ili dvostruki korijen jednadžbe.
Dakle, ako faktorni polinom rezultira sljedećim izrazom:

Možemo reći da:
x = -5 je korijen s višestrukošću 3 ili trostruki korijen jednadžbe p (x) = 0
x = -4 je korijen s višestrukošću 2 ili dvostruki korijen jednadžbe p (x) = 0
x = 2 je korijen s višestrukošću 1 ili jednostavni korijen jednadžbe p (x) = 0
Općenito kažemo da je r korijen višestrukosti n, s n ≥ 1, jednadžbe p (x) = 0, ako:

Imajte na umu da je p (x) djeljivo sa (x - r)^m te da uvjet q (r) ≠ 0 znači da r nije korijen q (x) i jamči da višestrukost korijena r nije veća od m.
Primjer 1. Riješi x jednadžbu⁴ - 9x³ + 23x² - 3x - 36 = 0, s obzirom da je 3 dvostruki korijen.
Rješenje: Smatrajmo p (x) zadanim polinomom. Tako:

Imajte na umu da se q (x) dobiva dijeljenjem p (x) s (x - 3)

².
Dijeljenjem s Briot-Ruffinijevim praktičnim uređajem dobivamo:

Nakon izvođenja dijeljenja vidimo da su koeficijenti polinoma q (x) 1, -3 i -4. Dakle, q (x) = 0 bit će: x² - 3x - 4 = 0
Riješimo gornju jednadžbu da odredimo ostale korijene.
x² - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 ili x = 4
Prema tome, S = {-1, 3, 4}
Primjer 2. Napišite algebarsku jednadžbu minimalnog stupnja takvu da je 2 dvostruki korijen, a - 1 jedan korijen.
Rješenje: Moramo:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
Ili

Napisao Marcelo Rigonatto
Stručnjak za statistiku i matematičko modeliranje
Brazilski školski tim

Polinomi - Matematika - Brazil škola

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm