izračunati faktorijel broja ima smisla samo kada radimo s prirodnim brojevima. Ova operacija je prilično česta u kombinatorna analiza, olakšavanje izračuna aranžmana, permutacija, kombinacija i drugih problema koji uključuju brojanje. Faktorijal je predstavljen simbolom "!". Mi ga definiramo kao n! (n faktorijel) do množenje n od svih njegovih prethodnika dok ne dođete do 1. Ne! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3 · 2 · 1.
Pročitajte i vi: Temeljno načelo brojanja - glavni koncept kombinatorne analize
Što je faktorijel?
Factorial je vrlo važna operacija za proučavanje i razvoj kombinatorne analize. U matematici, broj iza kojeg slijedi uskličnik (!) je poznat kao faktor, na primjer x! (x faktorijel).
Kao faktor znamo a prirodni broj The množenjem ovog broja s prethodnicima, osim nule, tj .:
Ne! = n · (n-1) · (n-2)… 3 · 2 · 1 |
Značajno je da, kako bi ova operacija imala smisla, n je prirodni broj, to jest, ne računamo faktorije negativnog broja, čak niti decimalnog broja ili razlomka.
faktorski izračun
Da biste pronašli faktorijel broja, samo izračunajte proizvod. Također imajte na umu da je faktorijel operacija koja, kada povećati vrijednost n, rezultat će se također puno povećati.
Primjeri:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Po definiciji imamo:
0! = 1
1! = 1
Faktorske operacije
Da biste riješili faktorske operacije, važno je biti oprezan i ne pogriješiti. Kada ćemo zbrajati, oduzimati ili množiti dva čimbenika, potrebno je izračunati svaki od njih zasebno. Samo odjel ima specifične načine za pojednostavljenje. Nemojte pogriješiti izvodeći operaciju i zadržavajući faktorijel, bilo za zbrajanje i oduzimanje ili za množenje.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Kada rješavamo bilo koju od ovih operacija, moramo izračunati svaki od čimbenika.
Primjeri:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Pogledajte i: Kako riješiti jednadžbu s faktorom?
Faktorsko pojednostavljenje
Podjele se prilično ponavljaju. U formulama od kombinacija, raspored i permutaciju s ponavljanjem, uvijek ćemo pribjeći pojednostavljenju kako bismo riješili probleme koji uključuju faktorijel. Za to, slijedimo nekoliko koraka.
Primjer:
1. korak: prepoznajte najveći faktorijel - u ovom slučaju to je 8! Sada, gledajući nazivnik, koji je 5!, napišimo množenje 8 njegovih prethodnika dok ne dođemo do 5 !.
Faktorijal broja n, odnosno n!, može se prepisati kao množenje n na k!. Tako,
Ne! = n · (n -1) · (n- 2) ·... · k!, pa prepišimo 8! poput množenja s 8 na 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Pa prepišimo razlog kao:
2. korak: nakon prepisivanja razlog, moguće je brojnik pojednostaviti nazivnikom, budući da je 5! nalazi se i u brojniku i u nazivniku. Nakon pojednostavljenja, jednostavno pomnožite.
Primjer 2:
Kombinacijska i faktorska analiza
Prilikom izvođenja u daljnjem proučavanju kombinatorne analize uvijek će se pojaviti faktor broja. Glavne skupine u kombinatornoj analizi, koje su permutacija, kombinacija i raspored, koriste faktorijel broja u svojim formulama.
Permutacija
THE permutacija i preuređivanje svih elemenata skupa. Da bismo izračunali permutaciju, pribjegavamo faktorijelu, jer se permutacija n elemenata izračunava prema:
StrNe = n!
Primjer:
Koliko anagrami možemo li graditi s imenom HEITOR?
Ovo je tipičan problem permutacije. Kako u nazivu postoji 6 slova, za izračunavanje broja mogućih anagrama samo izračunajte P6.
Str6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Također pristupite: Permutacija s ponovljenim elementima: kako to riješiti?
Aranžmani
Izračunati aranžmani zahtijeva i savladavanje faktorijela broja. Aranžman, poput permutacije, tvorba je preuređivanja. Razlika je u tome u aranžmanu preuređujemo dio seta, tj. želimo znati koliko mogućih preuređenja možemo oblikovati odabirom količine k jedne postavljen s n elemenata.
Primjer:
U tvrtki postoji 6 kandidata za upravljanje institucijom, a dvoje će biti odabrano za mjesta direktora i zamjenika direktora. Znajući da će biti izabrani glasanjem, koliko je mogućih rezultata?
U ovom ćemo slučaju izračunati raspored 6 uzetih iz 2 sa 2, jer ima 6 kandidata za dva slobodna mjesta.
Kombinacija
U kombinaciji, kao i u ostalim, potrebno je svladati faktorijel broja. Definiramo kao kombinaciju vas podskupovi skupa. Razlika je u tome što u kombinaciji nema preuređivanja, jer redoslijed nije važan. Tako izračunavamo koliko podskupova s k elemenata možemo oblikovati u skupu od n elemenata.
Primjer:
Odbor od 3 učenika bit će izabran za predstavljanje razreda. Znajući da postoji 5 kandidata, koliko povjerenstava se može formirati?
Pročitajte i vi: Aranžman ili kombinacija?
riješene vježbe
Pitanje 1 - O faktorijelu broja, prosudite sljedeće izjave.
I). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Samo sam ja istina.
B) Istina je samo II.
C) Istina je samo III.
D) Samo su I i II istiniti.
E) Samo su II i II istiniti.
Razlučivost
Alternativa A.
I) Istina.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Lažno.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Lažno.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Pitanje 2 - (UFF) Je li proizvod 20 · 18 · 16 · 14… · 6 · 4 · 2 ekvivalentan?
A) 20: 2
B) 2 · 10!
C) 20: 210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Razlučivost
Alternativa D.
Gledajući umnožak svih parnih brojeva od 2 do 20, znamo da:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Tako možemo prepisati kao 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
