O minimalni zajednički višekratnik (MMC) između dvije cjelobrojne vrijednosti x i y najmanji je cijeli broj koji je simultani višekratnik x i y. Na taj način postoji barem jedan način za pronalaženje MMC između dva broja x i y: pretražite skupove višekratnika x i y za najmanji zajednički element. Naravno, postoji praktična metoda za pronalaženje ovog broja, o kojoj će biti riječi u nastavku. Međutim, potrebno je dobro razumjeti koncept višekratnika cijelog broja.
Što su višekratnici?
Cijeli broj k naziva se a višestruko od x ako postoji neki prirodni broj n takav da je n · x = k. Uzmimo primjer broja 110. On je višestruko od 10, jer je 110 rezultat množenja 10 s prirodnim brojem 11.
Na taj je način moguće utvrditi je li cijeli broj k višestruko od x metodom pokušaja i pogrešaka ili inverznom operacijom množenja (dijeljenja). Broj k je višekratnik x ako postoji prirodni broj n takav da:
n = k
x
Drugim riječima, da biste saznali je li 110 višekratnik 10, podijelite 110 s 10. Ako je pronađeni rezultat prirodni broj, 110 je višekratnik 10; inače, ne.
Kako je skup prirodnih brojeva beskonačan, skup od višestruke bilo kojeg cijelog broja također je beskonačan. Međutim, za rješavanje vježbi koje uključuju višestruke i MMC, dobro je napisati popis prvih višekratnika broja kako bi se dobila bolja analiza ponašanja njegovih višekratnika.
Ispod je popis prvih 10 višekratnika 8, 10, 12, 20 i 40. Oni su prvih 10 jer su rezultat množenja tih brojeva s prvih 10 prirodnih brojeva.
10 prvih priroda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Višekratnici od 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
Višekratnici od 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Višekratnici od 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Višekratnici od 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200
Višekratnici od 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400
Najmanje zajednički višestruki
Da biste pronašli najmanje zajednički višestruki između dva broja pronađite molski višestruki da im je zajedničko. Prva tehnika korištena za pronalaženje mmc je traženje između višekratnika dva broja. Pogledajte primjer:
Najmanji zajednički višekratnik između 10 i 12 je 60, jer je između višekratnika 10 i 12 60 najmanji broj koji je višestruki od oba. Gledati:
Višekratnici od 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Višekratnici od 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Za ova dva broja, koja su mala, lako je pronaći MMC. Ali što kada je potreban izračun MMC-a između 256 i 384? Brojna zamorna množenja bit će potrebna ako želite nastaviti ovom metodom. Za to postoji praktična metoda o čemu će biti riječi u nastavku.
Metoda razlaganja za izračunavanje MMC-a
Da bi se izračunao najmanje zajednički višestruki između dva broja možete napraviti znak dekompozicija osnovnog faktora njihova. Na primjer, dekompozicije na proste faktore 10 i 12 su:
10 = 2·5
12 = 2·2·3 = 22·3
Napomena: Kad god se pojave ponovljeni čimbenici, zapišite ih u obliku snage, kao što je učinjeno pri razlaganju broja 12.
MMC između 10 i 12 bit će umnožak glavnih čimbenika, osim ponavljajućih čimbenika koji imaju najmanji eksponent. Dakle, minimum će biti:
22·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60
Imajte na umu da je faktor 2, od raspadanja broja 10, zanemaren, jer je isti faktor, od raspadanja broja 12, kvadrat.
To olakšava izračunavanje MMC-a između 256 i 384. Izgled:
256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 28
384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 27·3
MMC će biti proizvod 28·3 = 256·3 = 768.
Primjer 2: MMC između 768 i 4608
768 = 28·3
4608 = 29·32
MMC će biti proizvod: 29·32.
Primjer 3: Izračunajte MMC između 2700 i 4608
2700 = 33·22·52
4608 = 29·32
Imajte na umu da su faktori 2, 3 i 5. Oni s najvećim eksponentima su 29, 33 i 52. Dakle, MMC će biti:
29·33·52 = 345600
Praktična metoda za izračunavanje MMC-a
Moguće je primijetiti da za razlaganje brojeva na glavni faktori, potrebno ih je podijeliti s najmanjim mogućim prostim djeliteljem i pritom zanemariti čimbenike koji se ponavljaju u istoj podjeli. Postoji metoda sposobna za izvršavanje ovog zadatka. Da bismo vas naučili, poslužit ćemo se primjerom MMC između 1000. i 1024. godine.
Zapišite ova dva broja jedan pored drugog, odvojene zarezom, i prenesite vertikalni bočni potez desno od njih:
1000, 1024 |
|
|
Desno od tog traga napišite najmanji prosti broj koji barem jedan dijeli između 1000 i 1024. U ovom je slučaju broj 2 i dijeli oboje.
1000, 1024 | 2
|
|
Neposredno ispod svakog od njih napišite rezultat svojeg dijeljenja sa 2 i, za te rezultate, ponovite gornji postupak sve dok više nije moguće podijeliti niti jedan broj s 2.
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |
Imajte na umu da u nekom trenutku nalazimo rezultat 125 u stupcu 1000, ali 125 nije djeljiv s 2. U stupcu broj 1024 dobivamo samo rezultate djeljive s 2. U ovom slučaju nastavljamo dijeliti brojeve u stupcu 1024 sa 2 i ponavljati broj 125.
Kada se brojevi u stupcima 1000 i 1024 više ne dijele s 2, pokušajte sa sljedećim prostim brojem: brojem 3. Kad više nema djelitelja 3, pokušajte sa sljedećim i tako dalje dok ne dobijete rezultat "1,1". U slučaju primjera, 125 nije djeljivo s 3, već s 5, pa ćemo ponoviti postupak stavljanjem 5 desno od crtice. Gledati:
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |5
25, 1 |5
5, 1 |5
1, 1 |
Kada to učinite, pomnožite čimbenike pronađene desno od okomite crte:
2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 210·53 = 128000
Primjer 2: Izračunajte MMC između 432 i 384:
432, 384 |2
216, 192 |2
108, 96 |2
54, 48 |2
27, 24 |2
27, 12 |2
27, 6 |2
27, 3 |3
9, 1 |3
3, 1 |3
1, 1 |
MMC će biti: =
2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 27·33 = 128·9 = 1152
Da biste izračunali MMC od tri broja ili više, jednostavno upotrijebite ovdje raspravljenu praktičnu metodu, stavljajući sve ove brojeve jedan pored drugog.
Napisao Luiz Paulo Moreira
Diplomirao matematiku
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/minimo-multiplo-comum-mmc.htm