Sustav jednadžbi 1. i 2. stupnja

Sustavi jednadžbi nisu ništa drugo nego strategije koje nam dopuštaju riješiti probleme i situacije koje uključuju više od jedne varijable i najmanje dvije jednadžbe. Ako jednadžbe prisutne u sustavu uključuju samo dodatak i oduzimanje od nepoznanica, kažemo da je to Jednadžbeni sustav 1. stupnja. Ovaj sustav možemo riješiti na dva načina, putem grafički prikaz ili algebarski. U algebarskom obliku imamo dvije alternative, metodu dodatak ili iz zamjena.

U slučaju a množenje između nepoznanica ili, jednostavno, da se jedna od njih pojavljuje kao eksponentna snaga 2, kažemo da sustav također uključuje jednadžbe 2. stupnja. Da bi se riješio takav sustav, strategije su iste kao što je gore spomenuto, ali u ovom slučaju može biti više rješenja.

Pogledajmo nekoliko primjera rješavanja sustava jednadžbi 1. i 2. stupnja:

1. primjer:

Imajte na umu da je u ovom primjeru jednadžba x · y = 15 pruža proizvod među nepoznatima x i g, dakle ovo je jednadžba 2. stupnja. Da bismo ga riješili, poslužimo se metoda supstitucije. U drugoj jednadžbi izolirat ćemo x:

2x - 4y = - 14
2x = 4g - 14
x = 4g - 14
2
x = 2y - 7

Sad ćemo zamijeniti x = 2y - 7 u prvoj jednadžbi:

x · y = 15
(2g - 7) · y = 15
2y² - 7y - 15 = 0

Da biste pronašli moguće vrijednosti za y, koristit ćemo Bhaskarinu formulu:

Δ = b² - 4.a.c
Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)
Δ = 49 + 120
Δ = 169

y = - b ± √Δ​
2.

y = – (– 7) ± √169
2.2

y = 7 ± 13
4

g1 = 7 + 13 4 g1 = 20 4 g1 = 5

g2 = 7 – 13 4 g2 = – 6 4 g2 = – 3 2

Sada možemo zamijeniti pronađene vrijednosti za g u x · y = 15 kako bi se utvrdile vrijednosti x:

x1 · God1 = 15 x1 · 5 = 15 x1 = 15 5 x1 = 3

x2 · God2 = 15 x2 · (– 3) = 15 2  x2 = 15. (– 2) 3 x2 = – 10

Možemo reći da jednadžba ima dva rješenja tipa (x, y), jesu li oni: (3, 5) i (– 10, ^{– 3}/₂).

2. primjer:

Da bismo riješili ovaj sustav, koristit ćemo metoda zbrajanja. Da bismo to učinili, pomnožimo prvu jednadžbu sa – 2. Naš će sustav izgledati ovako:

(- 2x² + 2x²) + (- 4y² - 3y²) = (- 178 + 150)
0x² - 7y² = - 28
7y² = 28
y² = 28
7
y = ± √4
g₁ = + 2
g₂ = – 2

Sada možemo zamijeniti pronađene vrijednosti za g u prvoj jednadžbi radi dobivanja vrijednosti x:

x² + 2g1² = 89 x² + 2. (2) ² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 x1 = + 9 x2 = – 9

x² + 2g2² = 89 x² + 2. (- 2) ² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 x3 = + 9 ​x4 = – 9

Možemo reći da jednadžba ima četiri rješenja: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) i (– 9, – 2).

3. primjer:

U rješavanju ovog sustava jednadžbi koristit ćemo metoda supstitucije. U drugoj jednadžbi, izolirajmo x:

2x - 3y = 2
2x = 3g + 2
x = 3y + 2
2
x = 3y + 1
2

zamijenit ćemo x u prvoj jednadžbi:

x² + 2y² = 1
(^3y/₂ + 1) ² + 2y² = 1
9y² + 3y + 1 + 2y² = 1
4

Pomnožit ćemo cjelokupnu jednadžbu sa 4:

9y² + 12 y + 4 + 8y² = 4
17y² + 12y = 0

Da biste pronašli moguće vrijednosti za y, poslužimo se Bhaskarinom formulom:

Δ = b² - 4.a.c
Δ = 12² – 4.17. 0
Δ = 144
y = - b ± √Δ​
2.
y = – 12 ± √144
2.17
y = – 12 ± 12
34

Y1 = – 12 + 12 34 g1 = 0 34 g1 = 0

g2 = – 12 – 12 34 g2 = – 24 34 g2 = – 12 17

Zamjena pronađenih vrijednosti za g u 2x - 3y = 2, možemo odrediti vrijednosti x:

2x - 3 g1 = 2 2x - 3 · 0 = 2 2x - 0 = 2 x = 2 2 x1 = 1

2x - 3 g2 = 2 2x - 3 · (^– 12/17)= 2 2x + 36 = 2  17 2x = 2 – 36 17 2x = - 2 17 x2 = – 1 17

Možemo reći da jednadžba ima dva rješenja tipa (x, y), jesu li oni: (1, 0) i (^{– 1}/₁₇, ^{– 12}/₁₇).

Napisala Amanda Gonçalves
Diplomirao matematiku

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-equacoes-1-o-2-o-grau.htm