Vas složeni brojevi proizlaze iz potrebe za rješavanjem jednadžbe koji imaju korijen negativnog broja, što do tada nije bilo moguće riješiti radom sa stvarnim brojevima. Složeni brojevi mogu se predstaviti na tri načina: a algebarski oblik (z = a + bi), sastavljen od stvarnog dijela The i zamišljeni dio B; The Geometrijski oblik, predstavljen u složenoj ravnini također poznatoj kao Argand-Gaussova ravnina; i tvoje trigonometrijski oblik, poznat i kao polarni oblik. Na temelju njihove reprezentacije, dok radimo s numeričkim skupom, složeni brojevi imaju dobro definirane operacije: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i potenciranje.
Kroz geometrijski prikaz u kompleksnoj ravnini definiramo i modul (predstavljen s |z|) kompleksnog broja - što je udaljenost od točke koja predstavlja kompleksni broj do ishodišta - i koji je argument složeni broj - to je kut koji nastaje između vodoravne osi i kolosijeka koji povezuje ishodište s točkom koja predstavlja broj kompleks.
potreba za složenim brojevima
U matematici je širenje numeričkog skupa na novi, kroz povijest, bilo nešto sasvim uobičajeno. Ispada da se, tijekom toga, matematika razvila, a zatim i do zadovoljiti potrebe vremena, uočeno je da postoje brojevi koji ne pripadaju numeričkom skupu na koji se odnosi. Tako je bilo s pojavom numerički skupovi cijelih brojeva, racionalaca, iracionalnih i stvarnih vrijednosti, a nije bilo drugačije ni kada je bilo potrebno proširiti skup stvarnih brojeva na onaj složenih brojeva.
Kad pokušamo riješiti kvadratne jednadžbe, prilično je uobičajeno da nalazimo kvadratni korijen negativnog broja, što je nemoguće riješiti u skupu realnih brojeva, otuda i potreba za složenim brojevima. Na početku proučavanja ovih brojeva dobili su doprinosi važni matematičari, poput Giralma Cardona, ali njihov su skup formalizirali Gauss i Argand.
Pročitajte i vi: Geometrijski prikaz zbroja kompleksnih brojeva
algebarski oblik kompleksnog broja
Pri pokušaju rješavanja kvadratne jednadžbe kao što je x² = –25, često se govorilo da je nerješiva. Međutim, u pokušaju algebriziranja, algebarski prikaz, koji omogućuje izvođenje operacija s tim brojevima, iako ne možete izračunati kvadratni korijen negativnog broja.
Da biste olakšali rješavanje situacija u kojima radite s korijen negativnog broja, zamišljena jedinica.
Dakle, analizirajući predstavljenu jednadžbu x² = -25, imamo da:
Dakle, rješenja za jednadžbu su -5ja e5ja.
Da bismo definirali algebarski oblik, pismo ja, poznat kao zamišljena jedinica složenog broja. Složeni broj predstavljen je:
z = The + Bja
Na što The i B su stvarni brojevi.
The: stvarni dio, označen s a = Re (z);
B: zamišljeni dio, naznačen Im (z);
ja: zamišljena jedinica.
Primjeri
The) 2 + 3ja
B) -1 + 4ja
ç) 5 – 0,2ja
d) -1 – 3ja
kada stvarni dio je nula, broj je poznat kao čisti imaginarni, na primjer, -5ja i 5ja oni su čista mašta jer nemaju stvarni dio.
Kada je imaginarni dio nulan, kompleksni broj je ujedno i stvarni broj.
Operacije s složenim brojevima
Kao i svaki numerički skup, i operacije moraju biti dobro definirana, stoga je moguće izvršiti četiri osnovne operacije kompleksnih brojeva uzimajući u obzir predstavljeni algebarski oblik.
Zbrajanje dva složena broja
Za provođenje dodatak od dva kompleksna broja z1 ez2, zbrojit ćemo stvarni dio z1 ez2 odnosno zbroj imaginarnog dijela.
Biti:
z1 = a + bja
z2 = c + dja
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)ja
Primjer 1
Ostvarivanje zbroja z1 i z2.
z1 = 2 + 3ja
z2 = 1 + 2ja
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)ja
z1 +z2= 3 + 5ja
Primjer 2
Ostvarivanje zbroja z1 i z2.
z1 = 5 – 2ja
z2 = – 3 + 2ja
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)ja
z1+z2 = (5 – 3) + 0ja
z1 +z2= 3 + 0ja = 3
Pogledajte i: Geometrijski prikaz zbroja kompleksnih brojeva
Oduzimanje dva kompleksna broja
Prije nego što razgovaramo o oduzimanje, moramo definirati što je inverzna kompleksnom broju, odnosno z = a + bja. Inverzna vrijednost z, predstavljena s –z, kompleksni je broj –z = –a –bja
Za izvođenje oduzimanja između z1i -z2, kao i pored toga, mi ćemo učiniti oduzimanje između stvarnih dijelova i između imaginarnih dijelova odvojeno, ali potrebno je razumjeti da -z2 to je inverzna složenom broju zbog čega je potrebno igrati igru znakova.
Primjer 1
Izvođenjem oduzimanja z1 i z2.
z1 = 2 + 3ja
z2 = 1 + 2ja
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)ja
z1–z2= 1 + 1ja = 1+ ja
Primjer 2
Izvođenjem oduzimanja z1 i z2.
z1= 5 – 2ja
z2 = – 3 + 2ja
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)ja
z1–z2= (5 + 3) + (–4)ja
z1 –z2= 8 + (–4)ja
z1 –z2= 8 –4ja
Imaginarne jedinice snage
Prije nego što govorimo o množenju, moramo shvatiti snagu zamišljene jedinice. U potrazi za metodom za izračunavanje moći jaNe, potrebno je shvatiti da se te moći ponašaju ciklično. Za ovo, izračunajmo neke potencije u ja.
Ispada da sljedeće moći nisu ništa drugo do njegovo ponavljanje, imajte na umu da:
ja 4 = ja 2 · ja 2 = (–1) (–1) = 1
ja 5 = ja 2 · ja 3 = (–1) (–ja) = ja
Kako nastavljamo s izračunavanjem potencijala, odgovori će uvijek biti elementi skupa {1, i, –1, -ja}, a zatim za pronalaženje snage jedinice jaNe, podijelit ćemo n (eksponent) sa 4, a odmorove podjele (r = {0, 1, 2, 3}) bit će novi eksponent za ja.
Primjer1
Izračun i25
Kada 25 podijelimo s 4, količnik će biti 6, a ostatak jednak 1. Dakle, moramo:
ja 25 = ja1 = ja
Primjer 2
Izračun ja 403
Kada 403 podijelimo s 4, količnik će biti 100, jer je 100 · 4 = 400, a ostatak će biti 3, pa moramo:
ja 403 =ja 3 = -i
Množenje kompleksnih brojeva
Da bismo izveli množenje dva složena broja, primijenimo distribucijsko vlasništvo. Biti:
z1= a + bja
z2= c + dja, zatim proizvod:
z1 · z2 = (a + bja) (c + dja), primjenom distributivnog svojstva,
z1 · z2 = ac + adja + cbja + bdja 2, ali kao što smo vidjeli, ja ² = -1
z1 · z2 = ac + adja + cbja - bd
z1 · z2= (izmjenično – bd) + (ad + cb)ja
Pomoću ove formule moguće je pronaći umnožak bilo koja dva složena broja, ali u a Općenito, ne treba ga ukrašavati, jer za predmetni izračun samo primjenjujemo svojstvo distributivni.
Primjer
Izračun umnoška (2 + 3ja) (1 – 4ja):
(2+3ja) (1 – 4ja) = 2 – 8ja + 3ja– 12ja ², sjećajući se toga i² = -1:
(2 + 3ja) (1 – 4ja) = 2 – 8ja + 3ja+ 12
(2 + 3ja) (1 – 4ja) = (2 + 12) + (– 8 + 3)ja
(2+3ja) (1 – 4ja) = 14 – 5ja
Također pristupite: Složeni broj, oduzimanje i množenje
Konjugirani složeni broj
Prije nego što govorimo o dijeljenju, moramo shvatiti što je konjugat kompleksnog broja. Koncept je jednostavan, jednostavno pronaći konjugat složenog broja razmijenitimos znak zamišljenog dijela.
podjela dva složena broja
Za provođenje podjela dva složena broja, moramo razlomak pomnožiti s konjugatom nazivnika tako da je dobro definirano što je stvarni dio, a što imaginarni dio.
Primjer
Izračun podjele (6 - 4ja): (4 + 2ja)
Pogledajte i: Suprotno, konjugirano i jednakost kompleksnih brojeva
Složena ravnina ili Argand-Gaussova ravnina
Poznat kao složeni plan ili Planrgand-gauss, on dopušta prikaz u geometrijskom obliku složenog broja, ovaj je plan prilagodba u Kartezijanska ravnina za predstavljanje složenih brojeva. Vodoravna os je poznata kao stvarna os osi Re (z), a vertikalna os je poznata kao os zamišljenog dijela Im (z). Dakle, kompleksni broj koji predstavlja a + bja generira točke u kompleksnoj ravnini koju tvori uređeni par (a, b).
Primjer
Prikaz broja 3 + 2ja u geometrijskom obliku Z (3,2).
Modul i argument kompleksnog broja
Modul geometrijski složenog broja je udaljenost od točke (a, b) koji predstavlja ovaj broj u kompleksnoj ravnini do podrijetla, odnosno točka (0,0).
Kao što vidimo, | z | je hipotenuza od pravokutni trokut, stoga se može izračunati primjenom Pitagorin poučak, pa moramo:
Primjer:
Proračun modula z = 1 + 3ja
O Theargument kompleksnog broja, geometrijski, je kut koju tvore vodoravna os i | z |
Da bismo pronašli vrijednost kuta, moramo:
Cilj je pronaći kut θ = arg z.
Primjer:
Pronađite argument složenog broja: z = 2 + 2ja:
Budući da su a i b pozitivni, znamo da je ovaj kut u prvom kvadrantu, pa izračunajmo | z |.
Poznavajući | z |, moguće je izračunati sinus i kosinus.
Budući da su u ovom slučaju a i b jednaki 2, tada ćemo, kad izračunamo sinθ, pronaći isto rješenje za kosinus.
Poznavajući vrijednosti sinθ i cosθ, konzultirajući tablicu značajnih kutova i znajući to θ pripada prvom kvadrantu, pa se θ može naći u stupnjevima ili radijanima, pa zaključujemo što:
Trigonometrijski ili polarni oblik
Prikaz kompleksnog broja u trigonometrijski oblik to je moguće tek nakon što shvatimo koncept modula i argumenta. Na temelju ove reprezentacije razvijaju se važni koncepti za proučavanje složenih brojeva na naprednijoj razini. Da bismo izveli trigonometrijski prikaz, sjetit ćemo se njegovog algebarskog oblika z = a + bi, međutim, kada analiziramo složenu ravninu, moramo:
Zamjenom, u algebarskom obliku, vrijednosti a = | z | cos θ i b = | z | sen θ, moramo:
z = a + bja
Sa z = | z | cos θ + | z | senθ ja, stavljajući | z | kao dokaz dolazimo do formule trigonometrijskog oblika:
z = | z | (cos θ + ja · Grijeh θ) |
Primjer: U trigonometrijskom obliku napišite broj
Da bismo pisali u trigonometrijskom obliku, trebaju nam argument i modul z.
1. korak - Izračun | z |
Poznavajući | z |, moguće je pronaći vrijednost θ konzultirajući tablicu značajnih kutova.
Sada je moguće zapisati broj z u njegovom trigonometrijskom obliku s kutom u stupnjevima ili s kutom izmjerenim u radijanima.
Pročitajte i vi: Zračenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku
Riješene vježbe
Pitanje 1 - (UFRGS) S obzirom na kompleksne brojeve z1 = (2, –1) i z2 = (3, x), poznato je da umnožak između z1 i z2 je stvaran broj. Dakle, x je jednako:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Razlučivost
Alternativa D.
Da bi proizvod bio realan broj, tada je zamišljeni dio jednak nuli.
Zapisujući ove brojeve u algebarski oblik, moramo:
z1 = 2 – 1ja i z2 = 3 + xja
z1 · Z2 = (2 – 1ja) (3 + xja)
z1 · Z2 = 6 + 2xja –3ja - xja ²
z1 · Z2 = 6 + 2xja –3i + x
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)ja
Budući da nas zanima da je zamišljeni dio jednak nuli, tada ćemo riješiti za 2x - 3 = 0
Pitanje 2 - (UECE) Ako je i kompleksni broj čiji je kvadrat jednak -1, tada je vrijednost 5ja 227 + ja 6 – ja 13 to je isto kao:
The) ja + 1
b) 4ja –1
c) -6ja –1
d) -6ja
Razlučivost
Alternativa C.
Da bi se riješio ovaj izraz, potrebno je pronaći ostatak svakog od brojeva podijeljenih s 4.
227: 4 rezultira količnikom 56 i ostatkom 3.
ja 227 = ja 3 = –ja
6: 4 rezultira količnikom 1 i ostatkom 2.
ja 6 = ja 2 = –1
13: 4 rezultira količnikom 3 i ostatkom 1.
ja 13 = ja1 = ja
Dakle, moramo:
5ja 227 + ja 6 – ja 13
5 (–ja) + (–1) – ja
–5ja –1 – ja
–6ja – 1
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm