THE numerički slijed, kao što i samo ime govori, slijed je brojeva i obično ima zakon ponavljanja, koji omogućuje predviđanje sljedećih uvjeta upoznavanje svojih prethodnika. Brojne nizove možemo sastaviti s različitim kriterijima, poput niza parnih brojeva ili niza brojeva djeljivo sa 4, slijed prostih brojeva, slijed savršenih kvadrata, konačno, postoji nekoliko mogućnosti nizova brojčani.
Kada poredamo niz prema broju pojmova, niz može biti konačan ili beskonačan. Kada klasificiramo niz prema ponašanju pojmova, to može biti uzlazno, silazno, oscilirajuće ili konstantno. Postoje posebni slučajevi sekvenci koje su poznate kao aritmetičke progresije i geometrijske progresije.
Pročitajte i vi: Kako izračunati soma uvjeta a aritmetička progresija?
Sažetak brojevnog niza
Numerički slijed nije ništa drugo nego niz brojeva.
-
Neki primjeri numeričkog slijeda:
redoslijed parnih brojeva (0,2,4,6,8…);
slijed prirodnih materijala manji od 6 (1, 2, 3, 4, 5);
slijed prostih brojeva (2,3,5,7,11,…).
Zakon stvaranja progresije pravilo je koje upravlja ovim slijedom.
-
Niz može biti konačan ili beskonačan.
Konačno: kada imate ograničenu količinu termina.
Beskonačno: kada imate neograničenu količinu termina.
-
Niz može biti rastući, nevjernički, konstantan ili kolebljiv.
Polumjesec: kada je pojam uvijek manji od njegovog nasljednika.
Silazno: kad je pojam uvijek veći od svog nasljednika.
Konstanta: kada je pojam uvijek jednak svom nasljedniku.
Oscilirajuće: kada postoje pojmovi veći i manji od njegovog nasljednika.
Postoje posebni slučajevi nizova poznati kao aritmetička progresija ili geometrijska progresija.
Zakon nastanka niza brojeva
Znamo kao numerički slijed bilo koji slijed formiran brojevima. Redoslijed obično demonstriramo popisivanjem njihovih pojmova, zatvorenih u zagradama i odvojenih zarezom. Ovaj je popis poznat kao zakon nastanka niza brojeva.
(The1, a2, a3, …, ANe)
The1 → 1. pojam niza
The2 → 2. pojam niza
The3 → 3. pojam niza
TheNe → n-ti član niza
Pogledajmo neke primjere u nastavku.
Primjer 1:
Zakon nastanka niza brojeva višestruke od 5:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
Primjer 2:
Zakon nastanka niza primarni brojevi:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
Primjer 3:
Zakon nastanka cijela negativan:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
Primjer 4:
Slijed neparnih brojeva manjih od 10:
(1, 3, 5, 7, 9)
Pročitajte i vi: Koja su svojstva neparnih i parnih brojeva?
Klasifikacija numeričkih sekvenci
Postoje dva različita načina klasificiranja niza. Prva je što se tiče količine termina, način na koji niz može biti konačan ili beskonačan. Drugi način klasifikacije sekvenci je što se tiče njihovog ponašanja. U ovom su slučaju klasificirani kao rastući, opadajući, stalni ili fluktuirajući.
Klasifikacija prema količini pojmova
→ konačni slijed brojeva
Slijed je konačan kad je ima ograničenu količinu pojmova.
Primjeri:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ beskonačan niz brojeva
Niz je beskonačan kad ima neograničenu količinu pojmova.
Primjeri:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Ocjena ponašanja
→ Sekvenca uzlaznih brojeva
Niz je uzlazan kad je bilo koji pojam uvijek manji od njegovog nasljednika u nizu.
Primjeri:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Silazni brojevni niz
Niz se smanjuje kad je bilo koji pojam uvijek veći od svog nasljednika u nizu.
Primjeri:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ redoslijed konstantnih brojeva
Niz je konstantan kada svi pojmovi u nizu su isti:
Primjeri:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Oscilirajući niz brojeva
Niz se ljulja kad postoje pojmovi koji su veći i pojmovi koji su manji da njihovi nasljednici u slijedu:
Primjeri:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)
Zakon o formiranju sekvence brojeva
Neke sekvence mogu se opisati pomoću a formula koja generira vaše pojmove. Ova je formula poznata kao zakon tvorbe. Zakonom tvorbe koristimo se kako bismo pronašli bilo koji pojam u nizu kad znamo njegovo ponašanje.
Primjer 1:
Sljedeći slijed tvori savršeni kvadrati:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
Ovaj slijed možemo opisati zakonom tvorbe:
TheNe = (n - 1) ²
n → broj pojma
TheNe → pojam radnog mjesta Ne
Pomoću ove formule moguće je znati, na primjer, pojam koji zauzima položaj broj 10 u nizu:
The10 = ( 10 – 1) ²
The10 = 9²
The10 = 81
Primjer 2:
Navedi pojmove niza čiji je zakon tvorbeNe = 2n - 5.
Za popis ćemo pronaći prve pojmove u slijedu:
1. mandat:
TheNe = 2n - 5
The1 = 2·1 – 5
The1 = 2 – 5
The1 = – 3
2. mandat:
TheNe = 2n - 5
The2 = 2·2 – 5
The2 = 4 – 5
The2 = – 1
3. mandat:
TheNe = 2n - 5
The3 = 2·3 – 5
The3 = 6 – 5
The3 = 1
4. mandat:
TheNe = 2n - 5
The4 = 2·4 – 5
The4 = 8 – 5
The4 = 3
5. mandat:
The5 = 2n - 5
The5 = 2·5 – 5
The5 = 10 – 5
The5 = 5
Dakle, slijed je:
(– 1, 1, 3, 5 … )
Pogledajte i: Rimski brojevi — numerički sustav koji koristi slova za predstavljanje vrijednosti i veličina
Aritmetička progresija i geometrijska progresija
Oni postoje posebni slučajevi sekvenci koji su poznati kao aritmetička progresija i geometrijska progresija. Niz je napredak kada postoji razlog za pojam za njegovog nasljednika.
aritmetička progresija
Kad znamo prvi pojam u nizu i, da bismo pronašli drugi,mi dodajemo prvi na vrijednost r a da bismo pronašli treći pojam, dodamo i drugi toj istoj vrijednosti. r, i tako dalje, niz je klasificiran kao a aritmetička progresija.
Primjer:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Ovo je aritmetička progresija omjera jednakog 4 i prvog člana jednakog 1.
Imajte na umu da da biste pronašli nasljednika broja u nizu, samo dodajte 4, pa kažemo da je 4 razlog ove aritmetičke progresije.
Geometrijska progresija
Na geometrijska progresija, također postoji razlog, ali u ovom slučaju, da bismo pronašli nasljednika pojma, moramo pomnožiti pojam s omjerom.
Primjer:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Ovo je geometrijska progresija omjera jednakog 3 i prvog člana jednakog 2.
Imajte na umu da da biste pronašli nasljednika broja u ovom nizu, jednostavno pomnožite s 3, što čini omjer ove geometrijske progresije 3.
Riješene vježbeo slijedu brojeva
Pitanje 1 - Analizirajući niz (1, 4, 9, 16, 25, ...), možemo reći da će sljedeća dva broja biti:
A) 35 i 46.
B) 36 i 49.
C) 30 i 41.
D) 41 i 66.
Razlučivost
Alternativa B.
Da bi se pronašli pojmovi niza, važno je pronaći pravilnost u nizu, odnosno razumjeti njegov zakon nastanka. Imajte na umu da od prvog do drugog pojma dodajemo 3; od drugog do trećeg pojma dodajemo 5; od trećeg do četvrtog člana i od četvrtog do petog člana dodajemo 7 i 9, pa se zbroj povećava za dva jedinice svakom članu niza, odnosno u sljedećem ćemo dodati 11, pa 13, pa 15, pa 17 i tako dalje sukcesivno. Da bismo pronašli nasljednika 25, zbrojit ćemo 11.
25 + 11 = 36.
Da bismo pronašli nasljednika 36, zbrojit ćemo 13.
36 + 13 = 49
Tako će sljedeći uvjeti biti 36 i 49.
Pitanje 2 - (AOCP Institut) Dalje je predstavljen numerički slijed tako da su elementi ovog niza raspoređeni pokoravajući se (logičkom) zakonu tvorbe, gdje su x i y cijeli brojevi: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). Promatrajući ovaj niz i pronalazeći vrijednosti x i y, slijedeći zakon tvorbe datog niza, ispravno je tvrditi da
A) x je broj veći od 30.
B) y je broj manji od 5.
C) zbroj x i y rezultira 25.
D) umnožak x i y daje 106.
E) razlika između y i x, tim redoslijedom, je pozitivan broj.
Razlučivost
Alternativa C.
Želimo pronaći 7. i 8. pojam ove sekvence.
Analizirajući zakon nastanka niza (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), moguće je uočiti da postoji logika za neparne pojmove (1. mandat, 3. mandat, 5. mandat... ). Imajte na umu da je 3. pojam jednak 1. članu minus 2, budući da je 24 - 2 = 22. Koristeći istu logiku, 7. pojam, predstavljen s x, bit će 5. pojam minus 2, odnosno x = 20 - 2 = 18.
Slična je logika za parne pojmove (2. mandat, 4. mandat, 6. mandat ...): 4. mandat je 2. termin minus 2, budući da je 13 - 2 = 11, i tako dalje. Želimo 8. pojam, predstavljen y, što će biti 6. pojam minus 2, pa je y = 9 - 2 = 7.
Dakle, imamo x = 18 i y = 7. Analizirajući alternative, imamo da x + y = 25, odnosno zbroj x i y rezultira 25.
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm