Hiperbola. definicija hiperbole

Što je hiperbola?
Definicija: Neka su F1 i F2 dvije točke na ravnini i neka je 2c udaljenost između njih, hiperbola je skup točaka u ravnini čija je razlika (u modulu) udaljenosti do F1 i F2 konstanta 2a (0 <2a <2c).
Elementi hiperbole:

F1 i F2 → su žarišta hiperbole
→ je središte hiperbole
2c → žarišna duljina
2. → mjerenje stvarne ili poprečne osi
2b → zamišljeno mjerenje osi
c / a → ekscentričnost
Postoji veza između a, b i c → c² = the² + b²

Smanjena jednadžba hiperbole
1. slučaj: Hiperbola s fokusima na x osi.

Jasno je da će u tom slučaju žarišta imati koordinate F1 (-c, 0) i F2 (c, 0).
Dakle, reducirana jednadžba elipse sa središtem na ishodištu kartezijanske ravnine i usredotočenom na x os bit će:

2. slučaj: Hiperbola s žarištima na osi y.

U tom će slučaju žarišta imati koordinate F1 (0, -c) i F2 (0, c).
Dakle, reducirana jednadžba elipse sa središtem u ishodištu kartezijanske ravnine i usredotočenom na os y bit će:

Primjer 1. Nađi smanjenu jednadžbu hiperbole sa stvarnom osi 6, žarištima F1 (-5, 0) i F2 (5, 0).

Rješenje: Moramo
2a = 6 → a = 3
F1 (-5, 0) i F2 (5, 0) → c = 5
Iz izvanrednog odnosa dobivamo:
ç² = the² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² = 25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Dakle, reducirana jednadžba dat će:

Primjer 2. Pronađite jednadžbu reducirane hiperbole koja ima dva žarišta s F2 koordinatama (0, 10) i zamišljenom osi mjere 12.
Rješenje: Moramo
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Koristeći izvanredan odnos, dobivamo:
10² = the² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → a = 8.
Dakle, reducirana jednadžba hiperbole dat će:

Primjer 3. Jednadžbom odredite žarišnu daljinu hiperbole
Rješenje: Budući da je jednadžba hiperbole tipa  Mi moramo
The² = 16 i b² =9
Iz izvanrednog odnosa koji smo dobili
ç² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
Žarišna daljina je dana 2c. Tako,
2c = 2 * 5 = 10
Dakle, žarišna duljina je 10.

Napisao Marcelo Rigonatto
Stručnjak za statistiku i matematičko modeliranje
Brazilski školski tim

Analitička geometrija - Matematika - Brazil škola