A tangens (skraćeno kao tg ili tan) je a trigonometrijska funkcija. Za određivanje tangensa kuta možemo koristiti različite strategije: izračunati omjer između sinusa i kosinusa kuta, ako su poznati; koristiti tangentnu tablicu ili kalkulator; izračunati omjer suprotnog kraka i susjednog, ako je dotični kut među ostalim unutarnji (oštri) pravokutnog trokuta.
Pročitajte također: Čemu služi trigonometrijska kružnica?
sažetak o tangenti
Tangens je trigonometrijska funkcija.
Tangens unutarnjeg kuta pravokutnog trokuta je omjer suprotne stranice i susjedne stranice.
Tangens bilo kojeg kuta je omjer sinusa i kosinusa tog kuta.
Funkcija \(f (x)=tg\ x\) definiran je za kutove x izraženo u radijanima, tako da cos \(cos\ x≠0\).
Graf funkcije tangente prikazuje vertikalne asimptote za vrijednosti, gdje je \(x= \frac{π}2+kπ\), sa k cijeli, poput \(x=-\frac{π}2\).
Zakon tangenti je izraz koji povezuje, u bilo kojem trokutu, tangente dvaju kutova i stranice nasuprot tim kutovima.
Tangenta kuta
Ako je α jedan kut
unutarnji od a pravokutni trokut, tangens od α je omjer između duljine suprotnog kraka i duljine susjednog kraka:
Za bilo koji kut α, tangens je omjer sinusa α i kosinusa od α, gdje \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Treba primijetiti da ako je α kut u 1. ili 3. kvadrantu, tangenta će imati pozitivan predznak; ali ako je α kut 2. ili 4. kvadranta, tangens će imati negativan predznak. Ovaj odnos proizlazi izravno iz pravila predznaka između predznaka sinusa i kosinusa za svaki α.
Važno: Imajte na umu da tangens ne postoji za vrijednosti α gdje \(cos\ α=0\). To se događa za kutove od 90°, 270°, 450°, 630° i tako dalje. Da bismo ove kutove predstavili na općeniti način, koristimo zapis radijana: \(\frac{ π}2+kπ\), sa k cijeli.
Tangenta značajnih kutova
Korištenje izraza \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), možemo pronaći tangente od izvanredne kutove, a to su kutovi od 30°, 45° i 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Zanimljiv: Osim ovih, možemo analizirati vrijednosti tangensa za kutove od 0° i 90°, koje su također u širokoj upotrebi. Kako je sin 0° = 0, zaključujemo da je tan 0° = 0. Za kut od 90°, budući da je cos90° = 0, tangenta ne postoji.
Kako izračunati tangens?
Za izračun tangensa koristimo formulu tg α=sin αcos α, koja se koristi za izračun tangensa bilo kojeg kuta. Pogledajmo neke primjere u nastavku.
Primjer 1
Pronađite tangens kuta α u donjem pravokutnom trokutu.
rezolucija:
Što se tiče kuta α, stranica mjere 6 je suprotna stranica, a stranica mjere 8 je susjedna stranica. Kao ovo:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Primjer 2
Znajući da \(sin\ 35°≈0,573\) i cos\(35°≈0,819\), pronađite približnu vrijednost za tangentu od 35°.
rezolucija:
Budući da je tangens kuta omjer između sinusa i kosinusa tog kuta, imamo:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
tangentna funkcija
Za kutove je definirana funkcija fx=tg x x izraženo u radijanima, tako da \(cos\ x≠0\). To znači da je domena funkcije tangente izražena sa:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Nadalje, sve realni brojevi su slika funkcije tangente.
→ Graf funkcije tangente
Imajte na umu da graf funkcije tangente ima vertikalne asimptote za vrijednosti gdje \(x= \frac{π}2+kπ\), sa k cijeli, poput \( x=-\frac{π}2\). Za ove vrijednosti x, tangenta nije definirana (tj. tangenta ne postoji).
Vidi također: Što je domena, raspon i slika?
zakon tangenti
Zakon tangenti je a izraz koji asocira, u a trokut bilo koji, tangente dvaju kutova i stranice nasuprot tim kutovima. Na primjer, razmotrite kutove α i β trokuta ABC ispod. Uočimo da je stranica CB = a nasuprot kutu α, a stranica AC = b nasuprot kutu β.
Zakon tangente kaže da:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
trigonometrijski omjeri
Prema trigonometrijski omjeri su trigonometrijske funkcije obrađene na pravokutnom trokutu. Te omjere tumačimo kao odnose između stranica i kutova ove vrste trokuta.
Riješene vježbe na tangenti
Pitanje 1
Neka je θ kut drugog kvadranta takav da sin\(sin\ θ≈0,978\), pa je tgθ približno:
A) -4,688
B) 4,688
C) 0,2086
D) -0,2086
E) 1
Rezolucija
Alternativa A
ako \(sin\ θ≈0,978\), zatim, koristeći temeljni identitet trigonometrije:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0,043516}\)
Budući da je θ kut drugog kvadranta, tada je cosθ negativan, dakle:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Uskoro:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
pitanje 2
Promotrimo pravokutni trokut ABC s katetama AB = 3 cm i AC = 4 cm. Tangens kuta B je:
A) \(\frac{3}4\)
B) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
D) \(\frac{4}5\)
I) \(\frac{5}3\)
rezolucija:
Alternativa C
Izjavom, krak nasuprot kutu \(\šešir{B}\) je AC dimenzija 4 cm i krak uz kut \(\šešir{B}\) je AB s mjerom 3 cm. Kao ovo:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Autorica Maria Luiza Alves Rizzo
Učitelj matematike