simetrična matrica je zapovjedništvo u kojoj svaki element \(a_{ij}\) jednak je elementu \(a_{ji}\) za sve vrijednosti i i j. Prema tome, svaka simetrična matrica je jednaka svojoj transponaciji. Također je vrijedno spomenuti da je svaka simetrična matrica kvadratna i da glavna dijagonala djeluje kao os simetrije.
Pročitajte također:Zbrajanje i oduzimanje matrice — kako izračunati?
Sažetak o simetričnoj matrici
U simetričnoj matrici, \(a_{ij}=a_{ji}\) za sve i i j.
Svaka simetrična matrica je kvadratna.
Svaka simetrična matrica jednaka je svojoj transponaciji.
Elementi simetrične matrice su simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu.
Dok je u simetričnoj matrici \(a_{ij}=a_{ji}\) za sve i i j; u antisimetričnoj matrici, \(a_{ij}=-a_{ji}\) za sve i i j.
Što je simetrična matrica?
Simetrična matrica je kvadratna matrica gdje \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) za svako i i svako j. Ovo znači to \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), i tako dalje, za sve moguće vrijednosti i i j. Zapamtite da moguće vrijednosti i odgovaraju redovima matrice, a moguće vrijednosti j odgovaraju stupcima matrice.
Primjeri simetričnih matrica
\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Primjeri nesimetričnih matrica (razmotriti \(\mathbf{b≠g}\))
\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)
Važno: Reći da matrica nije simetrična znači to i pokazati \(a_{ij}≠a_{ji}\) za barem neke i i j (što možemo vidjeti usporedbom prethodnih primjera). Ovo se razlikuje od koncepta antisimetrične matrice, koji ćemo vidjeti kasnije.
Koja su svojstva simetrične matrice?
Svaka simetrična matrica je kvadratna
Imajte na umu da se definicija simetrične matrice temelji na kvadratnim matricama. Dakle, svaka simetrična matrica ima isti broj redaka kao i broj stupaca.
Svaka simetrična matrica jednaka je svojoj transponaciji
Ako je A matrica, njezina je transponirano (\(A^T\)) je definirana kao matrica čiji su redovi stupci od A i čiji su stupci redovi od A. Dakle, ako je A simetrična matrica, imamo \(A=A^T\).
U simetričnoj matrici, elementi se "reflektiraju" u odnosu na glavnu dijagonalu
Kao \(a_{ij}=a_{ji}\) u simetričnoj matrici, elementi iznad glavne dijagonale su "odrazi" elemenata ispod dijagonale (ili obrnuto) u odnosu na dijagonalu, tako da glavna dijagonala djeluje kao os simetrija.
Koje su razlike između simetrične matrice i antisimetrične matrice?
Ako je A simetrična matrica, tada \(a_{ij}=a_{ji}\) za sve i i sve j, kako smo proučavali. U slučaju antisimetrične matrice situacija je drugačija. Ako je B antisimetrična matrica, tada \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) za svako i i svako j.
Imajte na umu da ovo rezultira \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), to je, glavni dijagonalni elementi su nula. Posljedica toga je da je transpozicija antisimetrične matrice jednaka svojoj suprotnosti, to jest, ako je B antisimetrična matrica, tada \(B^T=-B\).
Primjeri antisimetričnih matrica
\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)
Vidi također: Matrica identiteta — matrica u kojoj su glavni dijagonalni elementi jednaki 1, a preostali elementi jednaki 0
Riješene vježbe na simetričnoj matrici
Pitanje 1
(Unicentro)
ako je matrica \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) je simetričan, pa je vrijednost xy:
A) 6
B) 4
C) 2
D) 1
E) -6
rezolucija:
Alternativa A
Ako je dana matrica simetrična, tada su elementi u simetričnim pozicijama jednaki (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Stoga moramo:
\(x = y - 1\)
\(x + 5 = 7\)
Zamjena prvog jednadžba u drugom zaključujemo da \(y=3\), uskoro:
\(x=2\) to je \(xy=6\)
pitanje 2
(UFSM) Znajući da matrica \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) jednaka je svojoj transponaciji, vrijednosti \(2x+y\) é:
A) -23
B) -11
C) -1
D) 11
E) 23
rezolucija:
Alternativa C
Budući da je data matrica jednaka svojoj transponaciji, onda je to simetrična matrica. Dakle, elementi u simetričnim položajima su jednaki (\(a_{ij}=a_{ji}\)), tj.:
\(x^2=36\)
\(4-y=-7\)
\(-30=5x\)
Po prvoj jednadžbi, x=-6 ili x=6. Trećom jednadžbom dobivamo točan odgovor: x= -6. Po drugoj jednadžbi, y=11.
Uskoro:
\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)
Autorica Maria Luiza Alves Rizzo
Učitelj matematike
Izvor: Brazilska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm