Simetrična matrica: što je to, primjeri, svojstva

protection click fraud

simetrična matrica je zapovjedništvo u kojoj svaki element \(a_{ij}\) jednak je elementu \(a_{ji}\) za sve vrijednosti i i j. Prema tome, svaka simetrična matrica je jednaka svojoj transponaciji. Također je vrijedno spomenuti da je svaka simetrična matrica kvadratna i da glavna dijagonala djeluje kao os simetrije.

Pročitajte također:Zbrajanje i oduzimanje matrice — kako izračunati?

Teme ovog članka

1 - Sažetak o simetričnoj matrici
2 - Što je simetrična matrica?
3 - Koja su svojstva simetrične matrice?
4 - Koje su razlike između simetrične matrice i antisimetrične matrice?
5 - Riješene vježbe na simetričnoj matrici

Sažetak o simetričnoj matrici

U simetričnoj matrici, \(a_{ij}=a_{ji}\) za sve i i j.
Svaka simetrična matrica je kvadratna.
Svaka simetrična matrica jednaka je svojoj transponaciji.
Elementi simetrične matrice su simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu.
Dok je u simetričnoj matrici \(a_{ij}=a_{ji}\) za sve i i j; u antisimetričnoj matrici, \(a_{ij}=-a_{ji}\) za sve i i j.

Što je simetrična matrica?

instagram story viewer

Simetrična matrica je kvadratna matrica gdje \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) za svako i i svako j. Ovo znači to \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), i tako dalje, za sve moguće vrijednosti i i j. Zapamtite da moguće vrijednosti i odgovaraju redovima matrice, a moguće vrijednosti j odgovaraju stupcima matrice.

Primjeri simetričnih matrica

\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

Primjeri nesimetričnih matrica (razmotriti \(\mathbf{b≠g}\))

\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

Važno: Reći da matrica nije simetrična znači to i pokazati \(a_{ij}≠a_{ji}\) za barem neke i i j (što možemo vidjeti usporedbom prethodnih primjera). Ovo se razlikuje od koncepta antisimetrične matrice, koji ćemo vidjeti kasnije.

Nemoj sada stati... Ima još nakon publiciteta ;)

Koja su svojstva simetrične matrice?

Svaka simetrična matrica je kvadratna

Imajte na umu da se definicija simetrične matrice temelji na kvadratnim matricama. Dakle, svaka simetrična matrica ima isti broj redaka kao i broj stupaca.

Svaka simetrična matrica jednaka je svojoj transponaciji

Ako je A matrica, njezina je transponirano (\(A^T\)) je definirana kao matrica čiji su redovi stupci od A i čiji su stupci redovi od A. Dakle, ako je A simetrična matrica, imamo \(A=A^T\).

U simetričnoj matrici, elementi se "reflektiraju" u odnosu na glavnu dijagonalu

Kao \(a_{ij}=a_{ji}\) u simetričnoj matrici, elementi iznad glavne dijagonale su "odrazi" elemenata ispod dijagonale (ili obrnuto) u odnosu na dijagonalu, tako da glavna dijagonala djeluje kao os simetrija.

Koje su razlike između simetrične matrice i antisimetrične matrice?

Ako je A simetrična matrica, tada \(a_{ij}=a_{ji}\) za sve i i sve j, kako smo proučavali. U slučaju antisimetrične matrice situacija je drugačija. Ako je B antisimetrična matrica, tada \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) za svako i i svako j.

Imajte na umu da ovo rezultira \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), to je, glavni dijagonalni elementi su nula. Posljedica toga je da je transpozicija antisimetrične matrice jednaka svojoj suprotnosti, to jest, ako je B antisimetrična matrica, tada \(B^T=-B\).

Primjeri antisimetričnih matrica

\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)

Vidi također: Matrica identiteta — matrica u kojoj su glavni dijagonalni elementi jednaki 1, a preostali elementi jednaki 0

Riješene vježbe na simetričnoj matrici

Pitanje 1

(Unicentro)

ako je matrica \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) je simetričan, pa je vrijednost xy:

A) 6

B) 4

C) 2

D) 1

E) -6

rezolucija:

Alternativa A

Ako je dana matrica simetrična, tada su elementi u simetričnim pozicijama jednaki (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Stoga moramo:

\(x = y - 1\)

\(x + 5 = 7\)

Zamjena prvog jednadžba u drugom zaključujemo da \(y=3\), uskoro:

\(x=2\) to je \(xy=6\)

pitanje 2

(UFSM) Znajući da matrica \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) jednaka je svojoj transponaciji, vrijednosti \(2x+y\) é:

A) -23

B) -11

C) -1

D) 11

E) 23

rezolucija:

Alternativa C

Budući da je data matrica jednaka svojoj transponaciji, onda je to simetrična matrica. Dakle, elementi u simetričnim položajima su jednaki (\(a_{ij}=a_{ji}\)), tj.:

\(x^2=36\)

\(4-y=-7\)

\(-30=5x\)

Po prvoj jednadžbi, x=-6 ili x=6. Trećom jednadžbom dobivamo točan odgovor: x= -6. Po drugoj jednadžbi, y=11.

Uskoro:

\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)

Autorica Maria Luiza Alves Rizzo
Učitelj matematike

Želite li ovaj tekst citirati u školskom ili akademskom radu? Izgled:

RIZZO, Maria Luiza Alves. "Simetrična matrica"; Brazilska škola. Dostupno u: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm. Pristupljeno 18. srpnja 2023.

Ovdje razumjeti definicije i formalizacije matrične strukture. Također pogledajte kako upravljati njegovim elementima i različitim vrstama matrica.

Kliknite ovdje i saznajte više o matrici identiteta, neutralnom elementu množenja matrice. Također naučite kako izgraditi ovu posebnu vrstu matrice.

Razumjeti što je transponirana matrica. Poznavati svojstva transponirane matrice. Naučite kako pronaći transponiranu matricu zadane matrice.

Naučiti što je simetrija i znati koje su njezine vrste. Vidi također primjere i važnost ovog fenomena.

Matrica, Vrsta matrice, Redoslijed matrica, Matrica retka, Matrica stupca, Nul matrica, Matrica kvadrat, dijagonalna matrica, matrica identiteta, suprotna matrica, matrica, jednaka matrica, jednakost matrice.