A proporcija zlatni ili božanska proporcija je jednakost povezana s idejama sklada, ljepote i savršenstva. Euklid iz Aleksandrije, grčki matematičar koji je živio oko 300. pr. C., jedan je od prvih mislilaca koji je formalizirao ovaj koncept koji sve do danas intrigira istraživače s različitih područja.
Razlog za ovo zanimanje je taj što se zlatni rez može približno promatrati u prirodi, uključujući sjemenke i lišće biljaka te ljudsko tijelo. Zbog toga je zlatni rez predmet proučavanja različitih stručnjaka, poput biologa, arhitekata, umjetnika i dizajnera.
Pročitajte i: Broj pi — jedna od najvažnijih konstanti u matematici
Sažetak o zlatnom rezu
Zlatni rez je omjer za \(a>b>0\) takav da
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
Pod tim uvjetima, razlog TheB naziva se zlatni rez.
Zlatni rez povezan je s koncepcijama ravnoteže, čistoće i savršenstva.
Grčko slovo ϕ (čitaj: fi) predstavlja zlatni broj, koji je konstanta dobivena iz zlatnog reza.
U Fibonaccijevom nizu, kvocijenti između svakog člana i njegovog prethodnika približavaju se zlatnom broju.
Zlatni pravokutnik je pravokutnik čije su stranice u zlatnom rezu.
Što je zlatni rez?
Razmotrimo segment linije podijeljen na dva dijela: veći je duljine The i najmanji B. shvatiti a+b je mjera cijelog segmenta.
zlatni rez je jednakost među razlozima\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) to je \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), tj
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
U ovom kontekstu kažemo da The to je B su u zlatnom rezu.
Ali za koje vrijednosti The to je B imamo li zlatni rez? To ćemo dalje vidjeti.
Kako izračunati zlatni broj?
Razlog \(\frac{a}b\)(ili, isto tako, razlog \(\frac{a+b}a\)) rezultira konstantom koja se naziva zlatni broj a predstavljena grčkim slovom ϕ. Stoga je uobičajeno pisati
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Da bismo izračunali zlatni broj, uzmimo u obzir zlatni rez za b = 1. Stoga možemo lako pronaći vrijednost The i dobiti ϕ od jednakosti \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Imajte na umu da zlatni rez možemo napisati na sljedeći način, koristeći svojstvo unakrsnog množenja:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Zamjenom b = 1, imamo
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Primjena Bhaskarine formule za ovu kvadratnu jednadžbu zaključujemo da je pozitivno rješenje The é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
Kao The je mjera segmenta, zanemarit ćemo negativno rješenje.
Pa kako \(\frac{a}b=ϕ\), Točna vrijednost zlatnog broja je:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Računajući kvocijent, dobivamo Približna vrijednost zlatnog broja:
\(ϕ≈1,618033989\)
Vidi također: Kako riješiti matematičke operacije s razlomcima?
Zlatni rez i Fibonaccijev niz
A Fibonaccijev niz je lista brojeva gdje je svaki član, počevši od trećeg, jednak zbroju dvaju prethodnika. Pogledajmo prvih deset članova ovog niza:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Dok računamo kvocijent između svakog člana i njegovog prethodnika u Fibonaccijevom nizu, približavamo se zlatnom broju ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1,5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1,6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1,6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1,625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1,6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1,61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1,61764…\)
Zlatni rez i zlatni pravokutnik
Jedan pravokutnik gdje je najduža stranica The a manja strana B su u zlatnom rezu zove se zlatni pravokutnik. Primjer zlatnog pravokutnika je pravokutnik čije stranice mjere 1 cm i \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Znati više: Što su izravno proporcionalne količine?
Primjene zlatnog reza
Imajte na umu da smo do sada proučavali zlatni rez samo u apstraktnim matematičkim kontekstima. Zatim ćemo vidjeti neke primijenjene primjere, ali treba biti oprezan: ni u jednom od ovih slučajeva zlatni rez nije točno prikazan. Ono što postoji su analize različitih konteksta u kojima zlatni broj se pojavljuje takopribližan.
Zlatni rez u arhitekturi
Neka istraživanja tvrde da se procjene količine zlata promatraju u određenim omjerima dimenzija Keopsove piramide u Egiptu i zgrade sjedišta UN-a u New Yorku.
Zlatni rez u ljudskom tijelu
Mjere ljudskog tijela razlikuju se od osobe do osobe i ne postoji savršen tip tijela. Međutim, barem od antičke Grčke, vode se rasprave o matematički idealnom tijelu (i potpuno nedostižnom u stvarnosti), s mjerenjima vezanim uz zlatni rez. U tom teoretskom kontekstu npr. omjer visine osobe i udaljenosti između pupka i tla bio bi zlatni broj.
zlatni rez u umjetnosti
Postoje istraživanja o djelima “Vitruvijev čovjek” i “Mona Lisa”, talijanskog Leonarda da Vincija, koja sugeriraju korištenje zlatnih pravokutnika.
Zlatni rez u prirodi
Postoje studije koje ukazuju na a odnos zlatnog reza i načina na koji je lišće pojedinih biljaka raspoređeno na stabljici. Ovakav raspored lišća naziva se filotaksija.
Zlatni rez u dizajnu
Zlatni rez također se proučava i koristi u području dizajna kao alat za sastavljanje projekta.
Riješene vježbe o zlatnom rezu
Pitanje 1
(Enem) Segment linije je podijeljen na dva dijela u zlatnom omjeru kada je cjelina prema jednom od dijelova u istom omjeru u kojem je ovaj dio prema drugom. Ova konstanta proporcionalnosti obično se predstavlja grčkim slovom ϕ, a njezina vrijednost dana je pozitivnim rješenjem jednadžbe ϕ2 = ϕ+1.
Baš kao i moć \(ϕ^2\), veće potencije od ϕ mogu se izraziti u obliku \(aϕ+b\), gdje su a i b prirodni brojevi, kao što je prikazano u tablici.
potenciju \(ϕ^7\), zapisan u obliku aϕ+b (a i b su prirodni brojevi), je
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Rezolucija
Kao \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Mi moramo
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Primjenom distribucije,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
Kao \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
E alternativa.
pitanje 2
Ocijenite svaku donju izjavu o zlatnom broju kao T (točno) ili F (netočno).
ja Zlatni broj ϕ je iracionalan.
II. Kvocijenti između svakog člana i njegovog prethodnika u Fibonaccijevom nizu približavaju se vrijednosti ϕ.
III. 1,618 je zaokruživanje zlatnog broja ϕ na tri decimale.
Točan slijed, od vrha prema dolje, je
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) P-P-P
e) F-V-V
Rezolucija
ja Pravi.
II. Pravi.
III. Pravi.
Alternativa A.
Izvori
FRANCISKO, S. V. od L. Između fascinacije i stvarnosti zlatnog reza. Disertacija (stručni magisterij iz matematike u nacionalnoj mreži) – Institut za bioznanosti, književnost i egzaktne znanosti, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. São Paulo, 2017. Dostupno u: http://hdl.handle.net/11449/148903.
PRODAJA, J. od S. Zlatni rez prisutan u prirodi. Završetak kolegija (diploma iz matematike), Savezni institut za obrazovanje, znanost i tehnologiju Piauí. Piauí, 2022. Dostupno u http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/ručka/123456789/1551.
Autorica Maria Luiza Alves Rizzo
Učitelj matematike
Izvor: Brazilska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao-aurea.htm
