THE jednadžba 1. stupnja je jednadžba koja ima nepoznanicu 1. stupnja. Jednadžbe su matematičke rečenice koje imaju nepoznanice, odnosno slova koja predstavljaju nepoznate vrijednosti, i jednakost. Matematička rečenica jednadžbe 1. stupnja je Thex + B = 0, gdje je The i B su realni brojevi, i The razlikuje se od 0. Svrha pisanja jednadžbe 1. stupnja je pronaći koja je vrijednost nepoznanice koja zadovoljava jednadžbu. Ta je vrijednost poznata kao rješenje ili korijen jednadžbe.
Pročitajte također: Eksponencijalna jednadžba — jednadžba koja ima barem jednu nepoznanicu u jednom od eksponenata
Teme u ovom članku
- 1 - Sažetak jednadžbe 1. stupnja
- 2 - Što je jednadžba 1. stupnja?
-
3 - Kako izračunati jednadžbu prvog stupnja?
- → jednadžba 1. stupnja s nepoznatom
- ? Jednadžba 1. stupnja s dvije nepoznanice
- 4 - Jednadžba 1. stupnja u Enem
- 5 - Riješene vježbe na jednadžbi 1. stupnja
Sažetak jednadžbe 1. stupnja
Jednadžba 1. stupnja je matematička rečenica koja ima nepoznanice 1. stupnja.
Jednadžba 1. stupnja s jednom nepoznanicom ima jedinstveno rješenje.
Matematička rečenica koja opisuje jednadžbu 1. stupnja s jednom nepoznanicom je Thex + B = 0.
Da bismo riješili jednadžbu 1. stupnja s nepoznatom, izvodimo operacije na obje strane jednakosti, kako bismo izolirali nepoznanicu i pronašli njezinu vrijednost.
Jednadžba 1. stupnja s dvije nepoznanice ima beskonačno rješenja.
Matematička rečenica koja opisuje jednadžbu 1. stupnja s dvije nepoznanice je Thex + By + c = 0
Jednadžba 1. stupnja je pojam koji se ponavlja u Enemu, a obično dolazi s pitanjima koja zahtijevaju tumačenje teksta i sastavljanje jednadžbe prije njezina rješavanja.
Što je jednadžba 1. stupnja?
Jednadžba je matematička rečenica koja ima jednakost i jednu ili više nepoznanica.. Nepoznanice su nepoznate vrijednosti i koristimo slova, kao što su x, y, z, da ih predstavimo.
Ono što određuje stupanj jednadžbe je eksponent nepoznanice. Tako, kada eksponent nepoznanice ima stupanj 1, imamo jednadžbu 1. stupnja. Pogledajte primjere u nastavku:
2x + 5 = 9 (jednadžba 1. stupnja s jednom nepoznatom, x)
y – 3 = 0 (jednadžba 1. stupnja s jednom nepoznanicom, y)
5x + 3y – 3 = 0 (jednadžba 1. stupnja s dvije nepoznanice, x i y)
Nemoj sada stati... Ima još nakon oglasa ;)
Kako izračunati jednadžbu prvog stupnja?
Danu situaciju predstavljamo kao jednadžbu kada to želimo pronađite vrijednosti koje nepoznanica može poprimiti zbog kojih jednadžba vrijedi, odnosno pronaći rješenja ili rješenje jednadžbe. U nastavku ćemo vidjeti kako pronaći rješenje jednadžbe 1. stupnja s jednom nepoznanicom i rješenja jednadžbe 1. stupnja s dvije nepoznanice.
→ Jednadžba 1. stupnja s jednom nepoznanicom
THE Jednadžba 1. stupnja s jednom nepoznanicom je jednadžba tipa:
\(ax+b=0\ \)
U toj rečenici, The i B su realni brojevi. Koristimo simbol jednakosti kao referencu. Prije njega imamo 1. član jednadžbe, a iza znaka jednakosti imamo 2. član jednadžbe.
Kako bismo pronašli rješenje ove jednadžbe, nastojimo izolirati varijablu x. oduzmimo B na obje strane jednadžbe:
\(ax+b-b=0-b\ \)
\(ax=-\ b\)
Sada ćemo podijeliti sa The na obje strane:
\(\frac{ax}{a}=\frac{-b}{a}\)
\(x=\frac{-b}{a}\)
Važno:Ovaj proces izvođenja radnje na obje strane jednadžbe često se opisuje kao "prelazak na drugu stranu" ili "prelazak na drugu stranu radeći obrnutu operaciju".
Primjer 1:
Pronađite rješenje jednadžbe:
2x - 6 = 0
rezolucija:
Kako bismo izolirali varijablu x, dodajmo 6 objema stranama jednadžbe:
\(2x-6+6\ =0+6\)
\(2x=6\)
Sada ćemo podijeliti s 2 s obje strane:
\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)
\(x=3\ \)
Nalazimo kao rješenje jednadžbe x = 3. To znači da ako zamijenimo 3 umjesto x, jednadžba će biti točna:
\(2\cdot3-6=0\)
\(6-6=0\ \)
\(0=0\)
Primjer 2:
Jednadžbu možemo izravnije riješiti pomoću praktične metode:
\(5x+1=-\ 9\)
Prvo, definirajmo što je prvi član jednadžbe, a što drugi član jednadžbe:
Da bismo pronašli rješenje jednadžbe, izolirat ćemo nepoznanicu na prvom članu jednadžbe. Za ovo, ono što nije nepoznato bit će proslijeđeno drugom članu koji izvodi inverznu operaciju, počevši s + 1. Dok zbraja, prijeći će na drugi član oduzimanjem:
\(5x+1=-\ 9\ \)
\(5x=-\ 9-1\ \)
\(5x=-\ 10\)
Želimo vrijednost x, ali nalazimo vrijednost 5x. Budući da je 5 množenje x, prijeći će na desnu stranu radeći inverznu operaciju od množenje, odnosno dijeljenje.
\(5x=-\ 10\)
\(x=\frac{-10}{5}\)
\(x=-\ 2\)
Rješenje ove jednadžbe je x = - 2.
Primjer 3:
Riješite jednadžbu:
\(5x+4=2x-6\)
Da bismo riješili ovu jednadžbu, prvo ćemo članove koji imaju nepoznanicu staviti na prvi član, a članove koji nemaju nepoznanicu na drugi član. Da bismo to učinili, identificirajmo ih:
\({\color{red}5}{\color{red}x}+ 4 = {\color{red}2}{\color{red}x}\ –\ 6\)
Crvenom bojom su članovi koji imaju nepoznanicu 5x i 2x, a crnom bojom oni koji nemaju nepoznanicu. Budući da + 4 nema nepoznanicu, prenesimo ga drugom članu oduzimanjem.
\(\color{red}{5x}=\color{red}{2x}-6-4\)
Imajte na umu da 2x ima nepoznanicu, ali je u drugom članu. Proslijedit ćemo ga prvom članu, oduzimajući 5x:
\({\color{red}{5x}-\color{red}{2x}=-6-4}\)
\(3x = - 10\)
Sada, prolazeći kroz dijeljenje 3, imamo sljedeće:
\(x=-\frac{10}{3}\)
Važno: Rješenje jednadžbe može biti razlomak, kao u gornjem primjeru.
◆ Video lekcija o jednadžbi 1. stupnja s nepoznatom
➝ Jednadžba 1. stupnja s dvije nepoznanice
Kada postoji jednadžba 1. stupnja koja ima dvije nepoznanice, ne postoji jedno rješenje, već beskonačna rješenja. Jednadžba 1. stupnja s dvije nepoznanice je jednadžba tipa:
\(ax+by+c=0\)
Da bismo pronašli neko od beskonačnih rješenja jednadžbe, dodijelimo vrijednost jednoj od njezinih varijabli i pronađemo vrijednost druge varijable.
Primjer:
Pronađite 3 moguća rješenja jednadžbe:
\(2x+y+3=0\)
rezolucija:
Da bismo pronašli 3 rješenja, odabrat ćemo neke vrijednosti za varijablu x, počevši s x = 1:
\(2\cdot1+y+3=0\)
\(2+y+3=0\ \)
\(y+5=0\)
Izolirajući y u prvom članu, imamo da je:
\(y=0-5\)
\(y=-\ 5\)
Dakle, moguće rješenje jednadžbe je x = 1 i y = - 5.
Da bismo pronašli još jedno rješenje jednadžbe, dodijelimo novu vrijednost bilo kojoj od varijabli. Napravit ćemo y = 1.
\(2x+1+3=0\ \)
\(2x+4=0\ \)
Izolacija x:
\(2x=-\ 4\ \)
\(x=\frac{-4}{2}\)
\(x=-\ 2\)
Drugo rješenje ove jednadžbe je x = - 2 i y = 1.
Konačno, kako bismo pronašli treće rješenje, odabrat ćemo novu vrijednost za jednu od vaših varijabli. Napravit ćemo x = 0.
\(2\cdot0+y+3=0\)
\(0+y+3=0\)
\(y+3=0\ \)
\(y=0-3\)
\(y=-\ 3\ \)
Treće rješenje je x = 0 i y = -3.
Ova tri rješenja možemo prikazati kao uređene parove, oblika (x, y). Pronađena rješenja za jednadžbu su:
\(\lijevo (1,-5\desno);\ \lijevo(-2,\ 1\desno);\lijevo (0,-3\desno)\)
Važno: Budući da ova jednadžba ima dvije nepoznanice, imamo beskonačno mnogo rješenja. Vrijednosti za varijable odabrane su nasumično, tako da smo mogli dodijeliti druge potpuno različite vrijednosti varijablama i pronaći tri druga rješenja jednadžbe.
Znati više: Jednadžba 2. stupnja — kako izračunati?
Jednadžba 1. stupnja u Enem
Pitanja koja uključuju jednadžbe 1. stupnja u Enemu zahtijevaju da kandidat bude sposoban transformirati problemske situacije u jednadžbu, koristeći podatke o izgovoru. Radi jasnoće, pogledajte kompetencije iz matematičkog područja 5.
Područje 5 Kompetencija: Modelirajte i rješavajte probleme koji uključuju socioekonomske ili tehničko-znanstvene varijable, koristeći algebarske prikaze.
Imajte na umu da se u Enemu očekuje da kandidat može modelirati problemske situacije našeg svakodnevnog života i riješiti ih pomoću jednadžbe. Unutar ove kompetencije postoje dvije specifične vještine koje uključuju jednadžbe koje Enem želi procijeniti: vještina 19 i vještina 21.
H19: Prepoznati algebarske prikaze koji izražavaju odnos između veličina.
H21: Riješiti problemsku situaciju čije modeliranje uključuje algebarsko znanje.
Dakle, ako učite za Enem, osim svladavanja rješavanja jednadžbi 1. stupnja, važno je uvježbati se u tumačenju problema koji uključuju jednadžbi, jer je razvijanje sposobnosti modeliranja problemskih situacija njihovim pisanjem kao jednadžbe za Enem jednako važno kao i sposobnost rješavanja jednadžba.
Riješene vježbe na jednadžbi 1. stupnja
Pitanje 1
(Enem 2012.) Krivulje ponude i potražnje proizvoda predstavljaju količine koje su prodavači i potrošači spremni prodati ovisno o cijeni proizvoda. U nekim slučajevima te se krivulje mogu prikazati ravnim linijama. Pretpostavimo da su količine ponude i potražnje za proizvodom predstavljene jednadžbama:
QO = –20 + 4P
QD = 46 - 2P
u kojem QO je količina ponude, QD je tražena količina, a P je cijena proizvoda.
Iz ovih jednadžbi ponude i potražnje, ekonomisti pronalaze tržišnu ravnotežnu cijenu, to jest, kada QO i QD jednak. Za opisanu situaciju, koja je vrijednost ravnotežne cijene?
a) 5
B) 11
C) 13
D) 23
E) 33
rezolucija:
Alternativa B
Da bismo pronašli ravnotežnu cijenu, jednostavno izjednačimo dvije jednadžbe:
\(Q_O=Q_D\)
\(–20+4P=46 –2P\)
\(4P+2P=46+20\)
\(6P=66\)
\(P=\frac{66}{6}\)
\(P=11\)
pitanje 2
(Enem 2010.) Troskok je atletski modalitet u kojem sportaš skače na jednoj nozi, jedan korak i jedan skok, tim redoslijedom. Skok s odskokom na jednoj nozi će se izvesti tako da sportaš prvi doskoči na istu nogu koja je izvršila odskok; u iskoraku će doskočiti drugom nogom s koje se izvodi skok.
Dostupno na: www.cbat.org.br (prilagođeno).
Sportaš modaliteta troskoka, nakon proučavanja njegovih pokreta, shvatio je da, od drugog do prvi skok domet se smanjio za 1,2 m, a od trećeg do drugog skoka domet se smanjio za 1,5 m. m. Želeći postići cilj od 17,4 m u ovoj disciplini i s obzirom na vaše učenje, udaljenost postignuta u prvom skoku trebala bi biti između
A) 4,0 m i 5,0 m.
B) 5,0 m i 6,0 m.
C) 6,0 m i 7,0 m.
D) 7,0 m i 8,0 m.
E) 8,0 m i 9,0 m.
rezolucija:
Alternativa D
U prvom skoku postiže daljinu od x metara.
U drugom skoku daljina se smanjuje za 1,2 m u odnosu na prvi skok, pa dolazi do daljine x – 1,2 metra.
Pri trećem skoku udaljenost se smanjuje za 1,5 m u odnosu na drugi skok, pa prijeđena udaljenost pri trećem skoku iznosi x – 1,2 – 1,5 metara, što je isto kao x – 2,7 metara.
Znamo da zbroj ovih udaljenosti mora biti jednak 17,4 metara, dakle:
\(x+x-1,2+x-2,7=17,4\)
\(3x-3,9=17,4\)
\(3x=17,4+3,9\)
\(3x=21,3\)
\(x=\frac{21,3}{3}\)
\(x=7,1\)
Dakle, udaljenost postignuta u prvom skoku je između 7,0 i 8,0 metara.
Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor matematike
