THE Teorem o unutarnjoj simetrali razvijen je posebno za trokuta i pokazuje da kada pratimo unutarnju simetralu kuta trokuta, točka susreta simetrale sa stranom nasuprot njoj dijeli tu stranicu na linijski segmenti proporcionalno susjednim stranicama tog kuta. Uz primjenu teorema o unutarnjoj simetrali moguće je odrediti vrijednost stranice ili segmenata trokuta koristeći omjer između njih.
Vidi također: Medijan, simetrala kuta i visina trokuta - u čemu je razlika?
Sažetak o unutarnjem teoremu simetrale:
Simetrala je a zraka koji kut dijeli na dva sukladna kuta.
Teorem o unutarnjoj simetrali specifičan je za trokute.
Ovaj teorem dokazuje da simetrala dijeli suprotnu stranu na proporcionalni segmenti na strane uz kut.
Video lekcija o teoremu unutarnje simetrale
Što je teorem o simetrali?
Prije nego shvatimo što kaže teorem o unutarnjoj simetrali, važno je znati što jest simetrala kuta. To je zraka koja dijeli kut na dva sukladna dijela., odnosno dva dijela koja imaju istu mjeru.
Shvaćajući što je simetrala, uočavamo da ona postoji u unutarnjem kutu trokuta. Kada ocrtamo simetralu kuta trokuta, ona će suprotnu stranu podijeliti na dva segmenta. Što se tiče unutarnje simetrale, njegov teorem kaže da su dva segmenta podijeljena njime proporcionalna susjednim stranama kuta.
Imajte na umu da simetrala dijeli stranu AC na dva segmenta, AD i DC. Teorem o simetrali to pokazuje:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Znati više: Pitagorin teorem — još jedan teorem razvijen za trokute
Dokaz teorema o unutarnjoj simetrali
U trokutu ABC dolje ćemo označiti segment BD, koji je simetrala ovog trokuta. Nadalje, pratit ćemo produljenje njegove strane CB i segmenta AE, paralelno s BD:
Kut AEB kongruentan je kutu DBC, jer je CE a ravno transverzalno na paralelne segmente AE i BD.
primjenom Talesov teorem, zaključili smo da:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Sad mi ostaje pokazati da je BE = AB.
Budući da je x mjera kuta ABD i DBC, analizirajući kut ABE, dobivamo:
ABE = 180 - 2x
Ako je y mjera kuta EAB, imamo sljedeću situaciju:
Znamo da je zbroj unutarnjih kutova trokuta ABE je 180°, pa možemo izračunati:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Ako kut x i kut y imaju istu mjeru, trokut ABE je jednakokračan. Stoga je stranica AB = AE.
Budući da je zbroj unutarnjih kutova trokuta uvijek jednak 180°, u trokutu ACE imamo:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Budući da je y = x, trokut ACE je jednakokračan. Stoga su segmenti AE i AC podudarni. Zamjena AE za AC in razlog, dokazano je da:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Primjer:
Pronađite vrijednost x u sljedećem trokutu:
Analizirajući trokut, dobivamo sljedeći omjer:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Unakrsno množenje:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Pročitaj i: Značajne točke trokuta - što su to?
Riješene vježbe o unutarnjem simetralnom teoremu
Pitanje 1
Gledajući donji trokut, možemo reći da je vrijednost x:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Rezolucija:
Alternativa D
Primjenom teorema o unutarnjoj simetrali dobivamo sljedeći izračun:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Unakrsno množenje:
\(27x=18\ \lijevo (30-x\desno)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
pitanje 2
Analizirajte sljedeći trokut, znajući da su vaše mjere date u centimetrima.
Opseg trokuta ABC jednak je:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Rezolucija:
Alternativa C
Primjenom teorema simetrale prvo ćemo pronaći vrijednost x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \lijevo (4x-9\desno)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Dakle, nepoznate strane mjere:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Sjećajući se da je duljina mjerača korišten je cm, the perimetar ovog trokuta jednako je:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Nastavnik matematike
Izvor: brazilska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm
