Šesterokut to je poligon koji ima 6 strana. Pravilan je kada su sve strane i unutarnji kutovi međusobno sukladni. Nepravilan je kada nema te karakteristike. Prvi slučaj je najviše proučavan, jer kada je šesterokut pravilan, ima specifična svojstva i formule koje nam omogućuju izračunavanje njegove površine, opsega i apoteme.
Pročitaj i: Što je losangle?
Sažetak o šesterokutu
Heksagon je 6-strani poligon.
Pravilna je kada su sve strane sukladne.
Nepravilan je kada sve strane nisu sukladne.
U pravilnom šesterokutu svaki unutarnji kut ima 120°.
Zbroj kutova vanjski rubovi pravilnog šesterokuta uvijek su 360°.
Za izračunavanje površine pravilnog šesterokuta koristimo formulu:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
O perimetar šesterokuta je zbroj njegovih stranica. Kada je redovno, imamo:
P = 6L
Apotem pravilnog šesterokuta izračunava se po formuli:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Nemoj sada stati... Ima još toga nakon oglasa ;)
Što je heksagon?
Heksagon je bilo koji poligon koji ima 6 stranica, dakle 6 vrhova i 6 kutova. Kako je poligon, to je zatvorena ravna figura sa stranicama koje se ne sijeku. Šesterokut je oblik koji se ponavlja u prirodi, kao u saću, u strukturama
organska kemija, u oklopima određenih kornjača i u snježnim pahuljama.Video lekcija o poligonima
šesterokutni elementi
Šesterokut se sastoji od 6 stranica, 6 vrhova i 6 unutarnjih kutova.
vrhovi: točke A, B, C, D, E, F.
strane: segmente \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Unutarnji kutovi: kutovi a, b, c, d, f.
Klasifikacija šesterokuta
Šesterokuti, kao i drugi poligoni, mogu se klasificirati na dva načina.
pravilni šesterokut
Šesterokut je pravilan kada ga ima sve njegove podudarne strane — prema tome, i njihovi će kutovi biti podudarni. Pravilni šesterokut najvažniji je od svih, a najviše je proučavan. Moguće je izračunati nekoliko njegovih aspekata, kao što je površina, posebnim formulama.
promatranje: Pravilni šesterokut se može podijeliti na 6 jednakostranični trokuti, odnosno trokuti sa svim stranama jednakim.
→ nepravilan šesterokut
Nepravilan šesterokut je onaj koji ima strane s različitim mjerama. Može biti konveksan ili nekonveksan.
konveksni nepravilni šesterokut
šesterokut je konveksan kada imate sve unutarnji kutovi manji od 180°.
→ Nepravilan nekonveksni šesterokut
Šesterokut nije konveksan kada ima unutarnji kutovi veći od 180°.
svojstva šesterokuta
→ Broj dijagonala u šesterokutu
Prvo važno svojstvo je to u konveksnom šesterokutu uvijek ima 9 dijagonala. Geometrijski možemo pronaći ovih 9 dijagonala:
Dijagonale također možemo pronaći algebarski, koristeći sljedeću formulu:
\(d=\frac{n\lijevo (n-3\desno)}{2}\)
Zamijenimo li 6 u jednadžbu, imamo:
\(d=\frac{6\cdot\lijevo (6-3\desno)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Dakle, konveksni šesterokut će uvijek imati 9 dijagonala.
Znati više: Dijagonala pravokutnog bloka — segment koji povezuje dva njegova vrha koji nisu na istom licu
→ Unutarnji kutovi šesterokuta
U šesterokutu, zbroj njegovih unutarnjih kutova je 720°. Da biste izvršili ovaj zbroj, jednostavno zamijenite 6 u formuli:
\(S_i=180\lijevo (n-2\desno)\)
\(S_i=180\lijevo (6-2\desno)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
U pravilnom šesterokutu unutarnji kutovi uvijek će mjeriti svaki po 120°, jer
720°: 6 = 120°
→ Vanjski kutovi pravilnog šesterokuta
Što se tiče vanjskih kutova, znamo da je Njihov je zbroj uvijek jednak 360°. Budući da postoji 6 vanjskih kutova, svaki od njih će mjeriti 60°, kao
360°: 6 = 60°
→ Pravilni šesterokutni apotem
Smatra se da je apotem pravilnog mnogokutalinijski segment povezuje središte poligona s središnja točka na tvojoj strani. Kao što znamo, pravilni šesterokut se sastoji od 6 jednakostraničnih trokuta, pa apotem odgovara visini jednog od tih jednakostraničnih trokuta. Vrijednost ovog segmenta može se izračunati po formuli:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ perimetar šesterokuta
Da biste izračunali opseg šesterokuta, jednostavno izvršite zbroj njegovih 6 strana. Kada je šesterokut pravilan, njegove stranice su sukladne, pa je moguće izračunati opseg šesterokuta pomoću formule:
P = 6L
→ pravilno područje šesterokuta
Kako znamo da se pravilni šesterokut sastoji od 6 jednakostraničnih trokuta sa stranicama veličine L, moguće je izvesti formulu za izračun njegove površine, koristeći izračun površina od jedne trokut jednakostranični pomnožen sa 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Imajte na umu da je moguće pojednostavljenje dijeljenjem sa 2, generirajući formulu za izračunavanje površine šesterokuta:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Šesterokut upisan u krug
Kažemo da je mnogokut upisan u a opseg kad on je unutar kruga, a njegovi vrhovi su točke ovoga. Možemo predstaviti pravilni šesterokut upisan u krug. Kada napravimo ovaj prikaz, moguće je provjeriti da je duljina polumjera kružnice jednaka duljini stranice šesterokuta.
Također znajte: Krug i opseg - u čemu je razlika?
Šesterokut opisan u krug
Kažemo da je poligon opisan krugom kada je opseg je unutar ovog poligona. Možemo predstaviti opisani pravilni šesterokut. U ovom slučaju, kružnica je tangenta na sredinu svake strane šesterokuta, što čini polumjer kružnice jednakim apotemu šesterokuta.
heksagonalna prizma
THE Geometrija ravnine je osnova za proučavanje Prostorna geometrija. O šesterokut može biti prisutan u bazi geometrijskih tijela, kao u prizmama.
Da biste pronašli volumen a prizma, izračunavamo umnožak površine baze i visine. Budući da je njegova baza šesterokut, njegova volumen može se izračunati prema:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Pročitaj i: Volumen geometrijskih tijela - kako izračunati?
Heksagonalna bazna piramida
Osim heksagonalne prizme, tu su i oni piramide šesterokutna baza.
otkriti volumen piramide šesterokutne baze izračunamo umnožak površine baze, visine i podijelimo s 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Imajte na umu da množimo i dijelimo s tri, što omogućuje a pojednostavljenje. Dakle, volumen heksagonalne piramide izračunava se po formuli:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Riješene vježbe na šesterokutu
Pitanje 1
Zemljište je u obliku pravilnog šesterokuta. Želite ovo područje okružiti bodljikavom žicom, tako da žica obiđe teritorij 3 puta. Znajući da je ukupno utrošeno 810 metara žice za ogradu cijelog zemljišta, površina ovog šesterokuta mjeri otprilike:
(Koristiti \(\sqrt3=1,7\))
A) 5102 m²
B) 5164 m²
C) 5200 m²
D) 5225 m²
E) 6329 m²
Rezolucija:
Alternativa B
Opseg pravilnog šesterokuta je
\(P=6L\)
Kako su napravljena 3 kruga, ukupno je potrošeno 270 metara da se odradi jedan krug, jer znamo da:
810: 3 = 270
Dakle, imamo:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ metara\)
Znajući duljinu stranice, izračunat ćemo površinu:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037,5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163,75m^2\)
Zaokružujući, dobivamo:
\(A\približno 5164m^2\)
pitanje 2
(PUC - RS) Za mehanički zupčanik, želite napraviti dio pravilnog šesterokutnog oblika. Razmak između paralelnih stranica je 1 cm, kao što je prikazano na donjoj slici. Stranica ovog šesterokuta je ______ cm.
THE) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
Ç) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Rezolucija:
Alternativa B
Što se tiče pravilnog šesterokuta, znamo da je njegov apotem mjera od središta do sredine jedne od strana. Dakle, apotema je polovica udaljenosti prikazane na slici. Dakle, moramo:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Apotema je tada jednaka \(\frac{1}{2}\). Postoji odnos između stranica šesterokuta i apotema, jer u pravilnom šesterokutu imamo:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Budući da znamo vrijednost apoteme, možemo je zamijeniti \(a=\frac{1}{2}\) u jednadžbi:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Racionaliziranje razlomka:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Nastavnik matematike
