Vježbe na PA i PG

Učite aritmetičku i geometrijsku progresiju uz riješene i komentirane vježbe korak po korak.

Vježba 1

U AP-u, a2 = 5 i a7 = 15. Pronađite a4 i dodajte prvih pet pojmova ovog AP-a.

vidi odgovor

Točan odgovor: a4 = 9 i S = 35.

Rezolucija

1. korak: utvrditi razlog i a4.
Da bismo napustili a2 i došli do a7, dodajemo 5r, jer je to "udaljenost" između 7 i 2.

a sa 7 indeksa jednako je a sa 2 indeksa plus 5 r 15 razmaka jednako razmaka 5 razmaka plus razmaka 5 r 15 razmak minus razmak 5 razmak jednako 5 r 10 razmak jednako razmak 5 r 10 preko 5 jednako r 2 jednako r

Pojam a4 je pojam a2 plus 2r, jer da bismo došli od a2 do a4, "napredujemo" 2r. Uskoro,

a s 4 indeksa jednako je a s 2 indeksa plus 2 r a s 4 indeksa jednako 5 razmaka plus razmaka 2.2 a s 4 indeksa jednako 5 razmaka plus razmaka 4 razmaka jednako razmaka 9

Dakle, četvrti mandat AP je 9.

2. korak: odredite zbroj prvih pet članova ovog AP-a.

Zbroj uvjeta AP-a dan je:

S je jednako brojevnoj lijevoj zagradi a s 1 indeksnim indeksom plus a s n indeksnim desnim zagradama. n preko nazivnika 2 kraj razlomka

a1 = a2 - r (jer se vraćamo jednu poziciju u PA, počevši od a2)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (jer se vraćamo dvije pozicije u PA, počevši od a7).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

S je brojnik lijevoj zagradi 3 razmak plus razmak 11 desna zagrada.5 preko nazivnika 2 kraj razlomka jednako je brojniku 14 razmaka. prostor 5 iznad nazivnika 2 kraj razlomka jednak je 70 preko 2 jednak je 35

Vježba 2

(Aeronautika 2021.) Profesor je napisao rastuću aritmetičku progresiju od 8 članova počevši od broja 3 i koja se sastoji samo od prirodnih brojeva. Zatim je primijetio da drugi, četvrti i osmi član ove aritmetičke progresije tvore, tim redoslijedom, geometrijsku progresiju. Profesor je također primijetio da je zbroj članova ove geometrijske progresije jednak

instagram story viewer

a) 42
b) 36
c) 18
d) 9

vidi odgovor

Odgovor: a) 42

Prema AP-u, pojmovi koji tvore PG su a2, a4 i a8:

a s 2 indeksa jednako je a s 1 indeksom plus lijeva zagrada n minus 1 desna zagrada r a s 2 indeks je jednak 3 plus lijeva zagrada 2 minus 1 desna zagrada r a s 2 indeksa jednako 3 plus r prostor

a s 4 indeksa jednako je a s 1 indeksom plus lijeva zagrada 4 minus 1 desna zagrada r a s 4 indeksa jednako 3 razmaka plus razmak 3 r

a s 8 indeksa jednako je 3 plus lijeva zagrada 8 minus 1 desna zagrada r a s 8 indeksa jednako 3 plus 7 r

Zbroj tri člana je:

S je jednako a s 2 indeksa plus a s 4 indeksa plus a s 8 indeksa S jednako lijevoj zagradi 3 plus r desnoj zagradi razmak plus razmak lijevoj zagradi 3 plus 3 r zagradi desni razmak plus razmak lijeva zagrada 3 plus 7 r desna zagrada S je jednako 9 razmak plus razmak 11 r prostor prostor prostor razmak lijeva zagrada i upitni prostor I zagrada pravo

Za određivanje r koristimo geometrijsku sredinu:

a s 4 indeksa jednako je kvadratnom korijenu a s 2 indeksa. a sa 8 indeksnim krajem korijena 3 plus 3 r jednako je kvadratnom korijenu lijeve zagrade 3 plus r desne zagrade. lijeva zagrada 3 plus 7 r desni kraj korijena zagrade

Kvadrat s obje strane

lijeva zagrada 3 plus 3 r desna zagrada na kvadrat jednako je lijevoj zagradi 3 plus r desnoj zagradi. lijeva zagrada 3 plus 7 r desna zagrada

Kvadriranje prvog člana i distribucija drugog člana:

lijeva zagrada 3 plus 3 r desna zagrada na kvadrat jednako je lijevoj zagradi 3 plus r desnoj zagradi. lijeva zagrada 3 plus 7 r desna zagrada 9 razmak plus razmak 18 r prostor plus prostor 9 r na kvadrat jednako je 9 razmak plus razmak 21 r prostor plus razmak 3 r razmak plus razmak 7 r na kvadrat 9 r na kvadrat minus 7 r na kvadrat jednako 24 r prostor minus prostor 18 r prostor plus prostor 9 prostor minus prostor 9 2 r na kvadrat jednako 6 r r na kvadrat jednako 3 r a. r prostor je jednak razmak 3 r r prostor je jednak brojniku 3 r preko nazivnika r kraj razlomka jednak je 3

Zamjenom r u jednadžbu I imamo:

S prostor jednak je prostor 9 prostor plus prostor 11 r S prostor jednak je prostor 9 prostor plus prostor 11,3 S prostor jednak je prostor 9 prostor plus prostor 33 S prostor jednak je prostor 42

Dakle, zbroj prva tri člana jednak je 42.

Vježba 3

(PM-SP 2019) Velika naftna kompanija je 2015. godine započela proces ponovne upotrebe vode koja se koristi za hlađenje dijelova koji izradio i napravio projekciju postupnog povećanja, u aritmetičkoj progresiji, do 2050. godine, količine vode koja će se ponovno koristiti, iz godine u godinu godina.

Tablica prikazuje količine vode ponovno korištene u prve 3 godine:

Neka je An opći izraz aritmetičke progresije koji označava volumen ponovno upotrijebljene vode, u milijunima m³, s n = 1, predstavlja volumen vode ponovno korištene u 2016. godini, n = 2, predstavlja volumen vode ponovno korištene u 2017. godini, i tako dalje sukcesivno.

Pod ovim uvjetima, mora se

a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.

vidi odgovor

Točan odgovor: c) An = 0,5n + 23.

cilj
Odrediti An kao funkciju od n.

Rezolucija
Omjer aritmetičke progresije je 0,5, jer je 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

Opći pojam AP-a je dat:

A s n indeksom jednako je razmaku a s 1 indeksnim razmakom plus razmak lijevoj zagradi n minus 1 desna zagrada r

Zamjena vrijednosti:

A s n indeksa jednako je 23 zarez 5 razmak plus razmak 0 zarez 5 n razmak minus razmak 0 zarez 5 A s n indeks jednako 0 zarez 5 n plus 23 razmak

Vježba 4

(CEDERJ 2021) Niz (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) je aritmetička progresija omjera 6. Četvrti član ove progresije je

a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.

vidi odgovor

Točan odgovor: a) 31

Rezolucija
r razmak je jednak razmaku a s 2 indeksa minus a s 1 indeksnim indeksom 6 razmak je jednak razmaku 3 x plus 4 razmaka minus zagrada lijevo 2x plus 3 zagrada desno 6 jednako 3x plus 4 minus 2x minus 3 6 jednako x plus 1x jednako 6 minus 1x jednako 5

Četvrti član je a3 + r, ovako:

a s 4 indeksa jednako je a s 3 indeksa plus r a s 4 indeksa jednako je 4 x razmak plus razmak 5 razmak plus razmak r

Zamjena pronađenih vrijednosti:

a s 4 indeksa jednako je 4,5 razmaka plus razmaka 5 razmaka plus razmaka 6 a s 4 indeksa jednako je 20 plus razmaka 5 razmaka plus razmaka 6 a s 4 indeksa jednako je 31

Vježba 5

(Enem 2021) U Brazilu, vrijeme potrebno studentu da završi obuku do diplomiranja na višem smjeru, s obzirom na 9 godina osnovne škole, 3 godine srednje škole i 4 godine mature (prosječno vrijeme), to je 16 godine. Međutim, stvarnost Brazilaca pokazuje da je prosječno vrijeme studiranja ljudi starijih od 14 godina još uvijek vrlo malo, kao što je prikazano u tablici.
Tablica povezana s rješavanjem pitanja.

Uzmite u obzir da povećanje vremena studiranja, u svakom razdoblju, za ove osobe ostaje konstantno do godine 2050., te da se namjerava doseći razinu od 70% vremena potrebnog za stjecanje višeg tečaja prethodno.
Godina u kojoj prosječno vrijeme studiranja osoba starijih od 14 godina dosegne željeni postotak bit će

a) 2018.
b) 2023.
c) 2031.
d) 2035.
e) 2043.

vidi odgovor

Točan odgovor: d) 2035.

1. dio: odredi 70% od 16.

70 posto znaka razmaka 16 razmaka jednako razmaka 70 preko 100 znak množenja 16 jednako 1120 preko 100 jednako 11 bod 2

2. dio: odrediti nakon koliko razdoblja će se dostići 11,2 godine studija.

Vremenski slijed istraživanja je aritmetička progresija (AP) s omjerom od 0,6.

r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5.2

Iznos od 11,2 godine bit će postignut u:

A s n indeksom jednako je a s 1 indeksom plus razmak lijeva zagrada n minus 1 desna zagrada r 11 zarez 2 jednako 5 zarez 2 plus lijeva zagrada n minus 1 desna zagrada 0 zarez 6 11 zarez 2 jednako 5 zarez 2 plus 0 zarez 6 n minus 0 zarez 6 11 zarez 2 minus 5 zarez 2 plus 0 zarez 6 jednako 0 zarez 6 n 6 plus 0 zarez 6 jednako 0 zarez 6 n 6 zarez 6 jednako 0 zarez 6 n brojnik 6 zarez 6 preko nazivnika 0 zarez 6 kraj razlomka je n 11 jednako n

Iznos od 11,2 dostići će se u 11. mandatu PA.

3. dio: odredi koji je 11. mandat PA godine.

Omjer je a2 - a1 = 1999. - 1995. = 4 godine

A s 11 indeksa jednako je a s 1 indeksom plus lijeva zagrada n minus 1 desna zagrada r A s 11 indeksa jednako je 1995 plus lijeva zagrada 11 minus 1 desna zagrada 4 A s 11 indeksa jednako je 1995 plus 10,4 A s 11 indeksa jednako je 1995 razmaka plus razmak 40 A s 11 indeksa jednako je 2035

Zaključak
70% od 16 godina potrebnih za završetak preddiplomskog studija bit će postignuto 2035.

Vježba 6

(Vatrogasni odjel 2021.) Zrakoplov i vatrogasno vozilo imaju rezervoare za vodu kapaciteta 12.000, odnosno 8.000 litara vode. Kamion ima pumpu od 2,5 GPM, što znači da je sposoban pumpati 2,5 galona u minuti.

Iz ove hipotetske situacije prosudite sljedeću stavku, s obzirom da je 1 galon jednak 3,8 litara vode.

Ako spremnik za vodu ima kapacitet od X tisuća litara, tako da su 8, X i 12 u geometrijskoj progresiji, tim redoslijedom, tada je kapacitet tog spremnika manji od 10 tisuća litara.

Pravo

Pogrešno

vidi odgovor

Točan odgovor: točno

cilj
Provjerite je li X < 10.

Rezolucija
U geometrijskoj progresiji, PG, srednji pojam je geometrijska sredina između ekstrema.

X manji od kvadratnog korijena od 8,12 kraj korijena X prostora manji od kvadratnog korijena od 96

Zapravo, približni kvadratni korijen od 96 je 9,79. Zaključujemo da je kapacitet X spremnika manji od 10 tisuća litara.

Vježba 7

(Aeronautika 2021.) Budite P.G. (24, 36, 54, ...). Dodavanjem 5. i 6. pojma ovog G.P. bilo je

a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4

vidi odgovor

Točan odgovor: c) 1215/4

cilj
Dodajte a5 + a6

Rezolucija

Korak 1: Odredite omjer q.

Razlog za PG je:

q jednako a sa 2 indeksa preko a s 1 indeksom jednako 36 preko 24 jednako 3 preko 2

Korak 2: Odredite a5

a4 = a3. q
a5 = a4. q

Zamjena a4 u a5:

a sa 5 indeksnih razmaka jednako je razmaku a s 3 razmaka ispod indeksa. prostor q prostor. razmak q razmak jednak je razmaku a s 3 indeksna razmaka. prostor q na kvadrat

Korak 3: Odredite a6

a6 = a5. q

Zamjena a5 u a6:

a sa 6 indeksnih oznaka jednako je a sa 5 indeksnim razmakom. razmak q razmak jednak je razmaku a s 3 indeksna razmaka. prostor q kvadratni prostor. razmak q razmak jednak je razmaku a s 3 indeksna razmaka. prostor q kub

Korak 4: Dodajte a5 + a6 zamjenjujući numeričke vrijednosti.

a sa 5 indeksa plus a sa 6 indeksa jednako je a sa 3 indeksa. q razmak na kvadrat plus razmak a s 3 indeksa. q u kocki a sa 5 indeksa plus a sa 6 indeksa jednako je 54 razmaka. razmak otvara zagrada 3 preko 2 zatvara zagrada na kvadrat plus razmak 54 razmak. razmak otvara zagrade 3 preko 2 zatvara zagrade kockaste a sa 5 indeksa plus a sa 6 indeksa jednako je 54 razmaka. prostor 9 preko 4 razmak plus prostor 54 prostor. prostor 27 preko 8

Stavljanje 54 u dokaze:

a sa 5 indeksa plus a sa 6 indeksa jednako je 54 razmak otvara zagrade 9 preko 4 razmak plus razmak 27 preko 8 zatvara zagrade a sa 5 indeksa plus a sa 6 indeksa jednako 54 otvara zagrade brojnik 9 prostor. razmak 8 nad nazivnikom 4 razmak. razmak 8 kraj razlomka plus razmak brojnik 27 razmak. razmak 4 nad nazivnikom 4 razmak. razmak 8 kraj razlomka zatvara zagrade a sa 5 indeksa plus a sa 6 indeksa jednako 54 otvara zagrade 72 preko 32 plus 108 preko 32 zatvara zagrade a sa 5 indeksa plus a sa 6 indeksa jednako 54 otvara zagrade 180 preko 32 zatvara zagrade a sa 5 indeksa plus a sa 6 indeksa jednako je 54 prostor. prostor 180 preko 32 jednako je 9720 preko 32 jednako 1215 preko 4

Vježba 8

(UERJ 2019) Trokuti A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, ilustrirani dolje, imaju opsege p1, p2, p3. Vrhovi ovih trokuta, počevši od drugog, su sredine stranica prethodnog trokuta.

priznaj to stog A s 1 indeksom B s 1 indeksom s kosom crtom iznad stog B s 1 indeksom C s 1 indeksom s kosom crtom iznad jednaka je 7 razmaka i razmakom A s 1 indeksom C s 1 indeksom s kosom crtom iznad jednako 4 .

Dakle, (p1, p2, p3) definira sljedeću progresiju:

a) aritmetički omjer = – 8
b) aritmetički omjer = – 6
c) geometrijski omjer = 1/2
d) geometrijski omjer = 1/4

vidi odgovor

Točan odgovor: c) geometrijski omjer = 1/2

Rezolucija

Korak 1: definirajte perimetre p1, p2 i p3.

p s 1 indeksom jednako je razmacima A s 1 indeksnim indeksom B s 1 indeksom s kosom crtom iznad plus razmakom B s 1 indeksom C s 1 indeksom s kosom crtom iznad plus stog A s 1 indeksom C s 1 indeksom s kosom crtom iznad p s 1 indeksom jednako je 7 razmak plus razmak 7 razmak plus razmak 4 p s 1 indeksom jednako je 18

Paralelizmom provjeravamo da su stranice unutarnjeg trokuta polovice neposredno vanjskog.

Na primjer, B2A2 = A1C2

Dakle, p2 je polovica p1, kao što je p3 polovica p2. Imamo:

p s 2 indeksa jednako je p s 1 indeksom podijeljenim s 2 jednako je 9 i p s 3 indeksa jednako je p s 2 indeksa podijeljeno s 2 jednako je 9 razmak podijeljen s 2 jednako 4 zarez 5

Korak 2: Sastavite progresiju i klasificirajte je.

p s 1 razmakom zarezom u donjem indeksu p s 2 razmaka za zarezom u indeksu p sa 3 razmaka za zarezom jednak je razmaku 18 razmak zarezom 9 razmak zarezom 4 zarez 5

Ispada da se za određivanje p2 18 množi s 1/2.

18 razmak znak množenja razmak 1 polovina je 9

Također, 9 pomnoženo s 1/2 je 4,5.

9 razmak znak za množenje razmak 1 polovica je jednaka 9 preko 2 jednako 4 zarez 5

Zaključak
Provjeravamo da je progresija geometrijska, s omjerom 1/2.

Vježba 9

(Enem 2021) Grafikon prikazuje proizvodnju registriranu od strane industrije u mjesecima siječnju, ožujku i travnju.

Zbog logističkih problema nije provedeno ispitivanje proizvodnje za mjesec veljaču. Međutim, podaci za ostala tri mjeseca sugeriraju da je proizvodnja u ovom četveromjesečnom razdoblju eksponencijalno rasla, što pokazuje krivulja trenda prikazana na grafikonu.

Uz pretpostavku da je rast u ovom razdoblju bio eksponencijalan, može se zaključiti da je proizvodnja ove industrije u mjesecu veljači, u tisućama jedinica, bila

a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.

vidi odgovor

Točan odgovor: c) 240.

Rezolucija

Opći član PG je eksponencijal a kao funkcija n, gdje su a1 i q konstantni brojevi.