Faktorizacija od polinomi sastoji se od metoda razvijenih za prepisivanje polinoma kao umnožak između polinoma. Napišite polinom kao množenje između dva ili više faktora pomaže u pojednostavljenju algebarskih izraza i razumijevanju polinoma.
Postoje različiti slučajevi faktoringa, a za svaki od njih postoje specifične tehnike.. Postojeći slučajevi su: faktoriranje po zajedničkom faktoru u dokazu, faktoriranje grupiranjem, razlika između dva kvadrata, savršeni kvadratni trinom, zbroj dviju kocki i razlika dviju kockica.
Čitaj više:Što je polinom?
Sažetak faktoring polinoma
Faktorizacija polinoma su tehnike koje se koriste za predstavljanje polinoma kao produkta polinoma.
Koristimo ovu faktorizaciju za pojednostavljenje algebarski izrazi.
-
Slučajevi faktoringa su:
Faktoriranje zajedničkim faktorom u dokazima;
Faktoriranje grupiranjem;
trinom savršenog kvadrata;
razlika dva kvadrata;
zbroj dvije kocke;
Razlika dvije kocke.
Slučajevi polinomskog faktoringa
Za faktoriranje polinoma, potrebno je analizirati u koji od slučajeva faktoringa situacija odgovara
, koji je: faktoring po zajedničkom faktoru u dokazima, faktoring po grupiranju, razlika između dva kvadrata, savršen kvadrat trinoma, zbroj dviju kocki i razlika dvije kocke. Pogledajmo kako izvršiti faktorizaciju u svakom od njih.Uobičajeni faktor u dokazima
Koristimo ovu metodu faktoringa kada postoji faktor zajednički za sve članove polinoma. Ovaj zajednički čimbenik bit će istaknut kao jedan faktor, a drugi čimbenik, rezultat podjela pojmova tim zajedničkim faktorom, bit će smješteni unutar zagrada.
Primjer 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Analizirajući svaki član ovog polinoma, moguće je vidjeti da se x ponavlja u svim članovima. Također, svi koeficijenti (20, 12 i 8) su višekratnici od 4, pa je faktor zajednički za sve pojmove 4x.
Dijelimo svaki pojam zajedničkim faktorom, imamo:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Sada ćemo napisati faktorizaciju stavljajući zajednički faktor kao dokaz i iznos od rezultata koji se nalaze u zagradama:
4x (5g + 3x + 2y²)
Primjer 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Analizirajući doslovni dio svakog pojma, moguće je vidjeti da se a²b ponavlja u svima. Imajte na umu da ne postoji broj koji istovremeno dijeli 2, 3 i – 4. Dakle, zajednički faktor će biti samo a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
45b³: a²b = 4a³
Dakle, faktorizacija ovog polinoma bit će:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Vidi također: Zbrajanje, oduzimanje i množenje polinoma — razumjeti kako se rade
grupiranje
Ova metoda je koristi se kada ne postoji zajednički faktor za sve članove polinoma. U ovom slučaju identificiramo pojmove koji se mogu grupirati sa zajedničkim čimbenikom i ističemo ih.
Primjer:
Faktorirajte sljedeći polinom:
ax + 4b + bx + 4a
Grupiramo pojmove koji imaju a i b kao zajednički faktor:
ax + 4a + bx + 4b
Stavljajući a i b u dokaze u terminima dva po dva, imamo:
a(x+4)+b(x+4)
Imajte na umu da su unutar zagrada faktori isti, pa ovaj polinom možemo prepisati kao:
(a + b) (x + 4)
trinom savršenog kvadrata
Trinomi su polinomi s 3 člana. Polinom je poznat kao trinom savršenog kvadrata kada jest zbroj na kvadrat ili rezultat na kvadrat razlike, to je:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Važno: Neće svaki put kada postoje tri člana ovaj polinom biti savršeni kvadratni trinom. Stoga, prije provedbe faktorizacije, mora se provjeriti odgovara li trinom u ovom slučaju.
Primjer:
Faktor, ako je moguće, polinom
x² + 10x + 25
Nakon analize ovog trinoma, izdvojit ćemo korijen prvi i zadnji mandat:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
Važno je provjeriti da je središnji član, to jest 10x, jednak \(2\cdot\ x\cdot5\). Imajte na umu da je to doista isto. Dakle, ovo je savršeni kvadratni trinom, koji se može rastaviti na faktore:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
razlika dva kvadrata
Kada imamo razliku od dva kvadrata, možemo faktorirati ovaj polinom tako da ga prepišemo kao umnožak zbroja i razlike.
Primjer:
Faktor polinoma:
4x² – 36y²
Prvo ćemo izračunati kvadratni korijen svakog od njegovih pojmova:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36y^2}=6y\)
Sada ćemo ovaj polinom prepisati kao umnožak zbroja i razlike pronađenih korijena:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Pročitaj i: Algebarski izračun koji uključuje monome — naučite kako se te četiri operacije događaju
zbroj dvije kocke
Zbroj dvije kocke, odnosno a³ + b³, može se faktorizirati kao:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Primjer:
Faktor polinoma:
x³ + 8
Znamo da je 8 = 2³, pa:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Razlika dvije kocke
Razlika dvije kocke, odnosno a³ – b³, ne za razliku od zbroja dvije kocke, može se razložiti kao:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Primjer:
Odvojite polinom
8x³ - 27
Mi to znamo:
8x³ = (2x) ³
27 = 3³
Dakle, moramo:
\(8x^3-27=\lijevo (2x-3\desno)\)
\(8x^3-27=\lijevo (2x-3\desno)\lijevo (4x^2+6x+9\desno)\)
Riješene vježbe faktoriranja polinoma
Pitanje 1
Korištenje polinomske faktorizacije za pojednostavljenje algebarskog izraza \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), naći ćemo:
a) x + 2
B) x - 2
Ç) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Rezolucija:
Alternativa D
Gledajući brojnik, vidimo da je x² + 4x + 4 slučaj savršenog kvadratnog trinoma i da se može prepisati kao:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Brojnik x² – 4 je razlika dvaju kvadrata i može se prepisati kao:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Stoga:
\(\frac{\lijevo (x+2\desno)^2}{\lijevo (x+2\desno)\lijevo (x-2\desno)}\)
Imajte na umu da se izraz x + 2 pojavljuje i u brojniku i u nazivniku, pa je njegovo pojednostavljenje dato na sljedeći način:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
pitanje 2
(Unifil Institute) S obzirom da su dva broja, x i y, takva da su x + y = 9 i x² – y² = 27, vrijednost x je jednaka:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Rezolucija:
Alternativa C
Imajte na umu da je x² – y² razlika između dva kvadrata i može se rastaviti kao umnožak zbroja i razlike:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Znamo da je x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27:9
x - y = 3
Tada možemo postaviti a sustav jednadžbi:
Dodavanje dva retka:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Nastavnik matematike
Izvor: brazilska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-de-polinomio.htm
