Učite s 11 vježbi o množenju matrice, sve s razlučivanjem korak po korak, tako da možete riješiti svoje nedoumice i biti dobar na ispitima i prijemnim ispitima.
Pitanje 1
S obzirom na sljedeće matrice, označite opciju koja označava samo moguće proizvode.
a) C.A, B.A, A.D.
b) D.B, D.C, A.D.
c) AC, D.A, C.D.
d) B.A, A.B, D.C
e) A.D., D.C., C.A.
Točan odgovor: c) AC, D.A, C.D
A.C je moguć jer je broj stupaca u A (1) jednak broju redaka u C (1).
D.A je moguć, jer je broj stupaca u D (2) jednak broju redaka u A (2).
C.D je moguć jer je broj stupaca u C (3) jednak broju redaka u D (3).
pitanje 2
Napravite matrični proizvod A. B.
Prvo moramo provjeriti je li moguće izvesti množenje.
Budući da je A matrica 2x3, a B matrica 3x2, moguće je množiti, jer je broj stupaca u A jednak broju redaka u B.
Provjerili smo dimenzije matrice dobivene množenjem.
Pozivanje matrice rezultata proizvoda A. B matrice C, ovo će imati dva retka i dva stupca. Zapamtite da matrica rezultata proizvoda "nasljeđuje" broj redaka iz prvog i broj stupaca iz drugog.
Stoga će matrica C biti tipa 2x2. Gradeći generičku matricu C, imamo:
C =
Da bismo izračunali c11, množimo prvi red A za prvi stupac B, zbrajajući pomnožene pojmove.
c11 = 3,1 + (-2).0 + 1,4 = 3 + 0 + 4 = 7
Da bismo izračunali c12, množimo prvi red A za drugi stupac B, zbrajajući pomnožene pojmove.
c12 = 3,3 + (-2).(-5) + 1,1 = 9 + 10 + 1 = 20
Da bismo izračunali c21, množimo drugi red A za prva kolona od B, zbrajanjem pomnoženih pojmova.
c21 = 1,1 + 5,0 + (-1).4 = 1 + 0 + (-4) = -3
Da bismo izračunali c22, množimo drugi red A za drugi stupac B, zbrajajući pomnožene pojmove.
c22 = 1,3 + 5.(-5) + (-1).1 = 3 + (-25) + (-1) = -23
Zapisivanje matrice C sa svojim pojmovima.
C =
pitanje 3
Riješite matričnu jednadžbu i odredite vrijednosti x i y.
Provjerili smo da je moguće množiti matrice prije jednakosti, jer su tipa 2x2 i 2x1, odnosno broj stupaca u prvoj jednak je broju redaka u drugoj. Rezultat je matrica 2x1 na desnoj strani jednakosti.
Redak 1 prve matrice množimo sa stupcem 1 druge matrice i jednak je 3.
-1.x + 2.y = 3
-x + 2y = 3 (jednadžba I)
Pomnožimo red 2 prve matrice sa stupcem 1 druge matrice i jednak je -4.
4.x + (-3).y = -4
4x - 3y = -4 (jednadžba II)
Imamo dvije jednadžbe i dvije nepoznanice i možemo riješiti sustav za određivanje x i y.
Pomnožimo obje strane jednadžbe I sa 4 i dodamo I + II, imamo:
Zamjenom y u jednadžbu I i rješavanjem za x, imamo:
Tako da imamo
pitanje 4
S obzirom na sljedeći linearni sustav, povežite matričnu jednadžbu.
Postoje tri jednadžbe i tri nepoznanice.
Da bismo sustavu pridružili matričnu jednadžbu, moramo napisati tri matrice: koeficijente, nepoznanice i nezavisne članove.
Matrica koeficijenata
Nepoznata matrica
Matrica nezavisnih pojmova
matrična jednadžba
Matrica koeficijenata. matrica nepoznanica = matrica nezavisnih članova
pitanje 5
(UDESC 2019.)
S obzirom na matrice 
i znajući da je A. B = C, pa je vrijednost x + y jednaka:
a) 1/10
b) 33
c) 47
d) 1/20
e) 11
Točan odgovor: c) 47
Da bismo odredili vrijednosti x i y, rješavamo matričnu jednadžbu dobivanjem sustava. Prilikom rješavanja sustava dobivamo vrijednosti x i y.
Množenje matrica:
Izoliranje x u jednadžbi I
Zamjena x u jednadžbi II
podudaranje nazivnika
Da bismo odredili x, zamjenjujemo y u jednadžbu II
Tako,
x + y = 19 + 18
x + y = 47
pitanje 6
(FGV 2016) S obzirom na matricu 
a znajući da je matrica 
je inverzna matrica matrice A, možemo zaključiti da matrica X, koja zadovoljava matričnu jednadžbu AX = B, ima kao zbroj svojih elemenata broj
a) 14
b) 13
c) 15
d) 12
e) 16
Točan odgovor: b) 13
Svaka matrica pomnožena njezinim inverzom jednaka je matrici identiteta In.
Množenjem obje strane jednadžbe AX = B s .
Izrada proizvoda na desnoj strani jednadžbe.
Kako je matrica identiteta neutralni element matričnog proizvoda
Dakle, zbroj njegovih elemenata je:
10 + 3 = 13
pitanje 7
S obzirom na matricu koja slijedi matricu A, izračunajte njezinu inverznu matricu, ako postoji.
A je invertibilan ili inverzibilan ako postoji kvadratna matrica istog reda koja, kada se množi ili pomnoži s A, rezultira matricom identiteta.
Namjeravamo identificirati postojanje ili ne postojanje matrice za što:
Budući da je A kvadratna matrica reda 2, također mora imati red 2.
Zapišimo inverznu matricu s njezinim vrijednostima kao nepoznanice.
Zapisivanje matrične jednadžbe i rješavanje proizvoda.
Izjednačavanje ekvivalentnih članova na obje strane jednakosti.
3a + 7c = 1
5a + 12c = 0
3b + 7d = 0
5b + 12d = 1
Imamo sustav s četiri jednadžbe i četiri nepoznanice. U ovom slučaju možemo podijeliti sustav na dva dijela. Svaki s dvije jednadžbe i dvije nepoznanice.
rješavanje sustava
Izoliranje a u prvoj jednadžbi
Zamjena a u drugoj jednadžbi.
Zamjena c
i sustav:
Izoliranje b u prvoj jednadžbi
Zamjena b u drugoj jednadžbi
Zamjena d za određivanje b.
Zamjena utvrđenih vrijednosti u inverznoj nepoznatoj matrici
Provjera je li izračunata matrica zapravo inverzna matrica od A.
Za to moramo izvršiti množenje.
Stoga su razlomci inverzibilni.
pitanje 8
(EsPCEx 2020) Budite matrice . Ako je AB=C, tada je x+y+z jednako
a) -2.
b) -1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
Točan odgovor: e) 2.
Da bismo odredili nepoznanice x, y i z, moramo izvesti matričnu jednadžbu. Kao rezultat, imat ćemo linearni sustav od tri jednadžbe i tri nepoznanice. Prilikom rješavanja sustava određujemo x, y i z.
Po jednakosti matrica imamo:
Zbrajanjem jednadžbi I i III
Dakle, x = -4/2 = -2
Zamjena x = -2 u jednadžbi I i izoliranje z.
Zamjena vrijednosti x i z u jednadžbi II.
Zamjenom vrijednosti x i y u jednadžbu I, imamo:
Dakle, moramo:
Dakle, zbroj nepoznanica je jednak 2.
pitanje 9
(PM-ES) O množenju matrice Fabiana je u svoju bilježnicu napisala sljedeće rečenice:
Točno je ono što Fabiana kaže:
a) samo u I.
b) samo u II.
c) samo u III.
d) samo u I i III.
e) samo u I i IV
Točan odgovor: e) samo u I i IV
Množenje matrica moguće je samo kada je broj stupaca u prvom jednak broju redaka u drugom.
Stoga se rečenica III već odbacuje.
Matrica C imat će broj redaka A i broj stupaca B.
Dakle, rečenice I i IV su točne.
pitanje 10
Zadana matrica A, odredi .
Korak 1: Odredite .
Korak 2: Odredite transponiranu matricu .
Dobivamo transponiranu matricu od A urednom zamjenom redaka za stupce.
Korak 3: Riješite matrični proizvod .
Dakle, rezultat matričnog proizvoda je:
pitanje 11
(UNICAMP 2018.) The i B realni brojevi takvi da je matrica zadovoljava jednadžbu
, na što ja je matrica identiteta reda 2. Dakle, proizvod ab to je isto kao
a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.
Točan odgovor: a) -2.
Korak 1: Odredite .
Korak 2: Odredite a. THE.
Korak 3: Odredite b. I, gdje je I matrica identiteta.
Korak 4: Dodajte aA + bI.
Korak 5: Spojite odgovarajuće pojmove u.
Korak 6: Riješite sustav izolacijom a u jednadžbi I.
Zamjena u jednadžbi II.
Zamjena vrijednosti b
Korak 7: izvršite množenje a.b.
nauči više o Množenje matrice.
Možda će vas zanimati:
Matrice - Vježbe
Matrice
Matrice i determinante
Vrste matrica