An polinomska jednadžba karakterizira to što ima a polinom jednaka nuli. Može se okarakterizirati stupnjem polinoma, a što je ovaj stupanj veći, to je veći stupanj poteškoća u pronalaženju njegovog rješenja ili korijena.
Također je važno, u ovom kontekstu, razumjeti koji je temeljni teorem algebre, koji to kaže svaka polinomska jednadžba ima barem jedno kompleksno rješenje, drugim riječima: jednadžba stupnja jedan imat će barem jedno rješenje, jednadžba stupnja dva imat će najmanje dva rješenja, i tako dalje.
Pročitaj i ti: Koje su klase polinoma?
Što je polinomska jednadžba
Polinomska jednadžba je karakterizirana time da ima polinom jednak nuli, dakle, svaki izraz tipa P(x) = 0 je polinomska jednadžba, gdje je P(x) polinom. Ispod je opći slučaj polinomske jednadžbe i neki primjeri.
Uzmite u obzirNe, an -1, a n -2, …, The1, a0 i x realni brojevi, a n je pozitivan cijeli broj, sljedeći izraz je polinomska jednadžba stupnja n.
- Primjer
Sljedeće jednadžbe su polinomi.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 - x2 + 4x + 3 = 0
Kao i polinomi, i polinomske jednadžbe imaju svoj stupanj. Da biste odredili stupanj polinomske jednadžbe, samo pronađite najveću snagu čiji se koeficijent razlikuje od nule. Stoga su jednadžbe prethodnih stavki, odnosno:
a) Jednadžba je iz četvrti stupanj:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Jednadžba je iz Srednja škola:5x2 – 3 = 0.
c) Jednadžba je iz prvi stupanj:6x – 1 = 0.
d) Jednadžba je od treći stupanj: 7x3- x2 + 4x + 3 = 0.
Kako riješiti polinomsku jednadžbu?
Način rješavanja polinomske jednadžbe ovisi o njezinu stupnju. Što je veći stupanj jednadžbe, to ju je teže riješiti. U ovom članku ćemo pokazati način rješavanja polinomskih jednadžbi prvi stupanj, drugi stupanj i bisquare.
Polinomska jednadžba prvog stupnja
Polinomsku jednadžbu prvog stupnja opisuje a polinom stupnja 1. Dakle, možemo napisati jednadžbu prvog stupnja, općenito, kako slijedi.
Razmotrimo dva realna broja The i B s ≠ 0, sljedeći izraz je polinomska jednadžba prvog stupnja:
ax + b = 0
Da bismo riješili ovu jednadžbu, moramo koristiti princip ekvivalencije, to jest, sve što djeluje na jednoj strani jednakosti mora djelovati i na drugoj strani. Da bismo odredili rješenje jednadžbe prvog stupnja, moramo izolirati nepoznato. Za to je prvi korak eliminirati B na lijevoj strani jednakosti, a zatim oduzetivesla b na obje strane jednakosti.
sjekira + b - B = 0 - B
sjekira = - b
Imajte na umu da vrijednost nepoznatog x nije izolirana, koeficijent a treba eliminirati s lijeve strane jednakosti, a za to podijelimo obje strane s The.
- Primjer
Riješite jednadžbu 5x + 25 = 0.
Da bismo riješili problem, moramo koristiti princip ekvivalencije. Kako bismo olakšali proces, izostavit ćemo pisanje operacije na lijevoj strani jednakosti, budući da Ekvivalentno je onda reći da ćemo "prebaciti" broj na drugu stranu, mijenjajući predznak (inverzna operacija).
Saznajte više o rješavanju ove vrste jednadžbe pristupom našem tekstu: Jednadžba prvog stupnja s nepoznanicom.
Polinomska jednadžba drugog stupnja
Polinomska jednadžba drugog stupnja ima karakteristiku a polinom drugog stupnja. Dakle, razmotrite a, b i c realne brojeve s a ≠ 0. Jednadžbu drugog stupnja daje:
sjekira2 + bx + c = 0
Vaše rješenje može se odrediti metodom bhaskara ili faktoringom. Ako želite saznati više o jednadžbama ove vrste, pročitajte: Jednaddjelovanje od sdrugi grau.
→ Bhaskara metoda
Koristeći Bhaskarinu metodu, njegovi korijeni su dati sljedećom formulom:
- Primjer
Pronađite rješenje jednadžbe x2 – 3x + 2 = 0.
Imajte na umu da su koeficijenti jednadžbe a = 1, b = – 3 i c = 2. Zamijenivši ove vrijednosti u formuli, moramo:
→ Faktorizacija
Vidjeti da je moguće faktorizovati izraz x2 – 3x + 2 = 0 koristeći ideju polinomska faktorizacija.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Primijetite sada da imamo proizvod jednak nuli, a proizvod jednak nuli samo ako je jedan od faktora jednak nuli, tako da moramo:
x – 2 = 0
x = 2
ili
x - 1 = 0
x = 1
Vidite da smo pronašli rješenje jednadžbe koristeći dvije različite metode.
bi-kvadrat jednadžbe
THE bikvadratna jednadžba to je poseban slučaj polinomske jednadžbe četvrtog stupnja, normalno bi se jednadžba četvrtog stupnja napisala u obliku:
sjekira4 + bx3 + kutija2 + dx + e = 0
gdje su brojevi a B C D i i su stvarne s ≠ 0. Jednadžba četvrtog stupnja smatra se bikvadratom kada su koeficijenti b = d = 0, odnosno, jednadžba je u obliku:
sjekira4 + kutija2 + i = 0
Pogledajte, u primjeru ispod, kako riješiti ovu jednadžbu.
- Primjer
Riješite x jednadžbu4 – 10x2 + 9 = 0.
Za rješavanje jednadžbe koristit ćemo sljedeću nepoznatu promjenu, a kad god je jednadžba bikvadratna, izvršit ćemo tu promjenu.
x2 =str
Iz jednadžbe bi-kvadrata uočite da je x4 = (x2)2 i stoga moramo:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
za2 – 10p + 9 = 0
Vidite da sada imamo polinomsku jednadžbu drugog stupnja i možemo koristiti Bhaskarinu metodu, ovako:
Međutim, moramo zapamtiti da je na početku vježbe napravljena nepoznata promjena, pa moramo primijeniti vrijednost pronađenu u zamjeni.
x2 =str
Za p = 9 imamo sljedeće:
x2 = 9
x’ = 3
ili
x'' = – 3
Za p = 1
x2 = 1
x’ = 1
ili
x'' = – 1
Dakle, skup rješenja bikvadratne jednadžbe je:
S = {3, –3, 1, –1}
Pročitaj i: Briot-Ruffinijev praktični uređaj – podjela polinoma
Temeljni teorem algebre (TFA)
Temeljni teorem algebre (TFA), koji je dokazao Gauss 1799., kaže da svaka polinomska jednadžba, kako slijedi, ima barem jedan složeni korijen.
Korijen polinomske jednadžbe je njezino rješenje, odnosno nepoznata vrijednost je ono što čini jednakost istinitom. Na primjer, jednadžba prvog stupnja ima već određen korijen, kao i jednadžba drugog stupnja, koja ima najmanje dva korijena, i bikvadrat, koji ima najmanje četiri korijena.
riješene vježbe
Pitanje 1 – Odredite vrijednost x koja čini jednakost istinitom.
2x – 8 = 3x + 7
Rezolucija
Imajte na umu da je za rješavanje jednadžbe potrebno ju organizirati, odnosno ostaviti sve nepoznanice na lijevoj strani jednakosti.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Po principu ekvivalencije možemo obje strane jednakosti pomnožiti s istim brojem, a budući da želimo pronaći vrijednost x, pomnožit ćemo obje strane s –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
pitanje 2 – Markos ima 20 R$ više od Joãa. Zajedno uspijevaju kupiti dva para tenisica, a svaki par košta 80 R$ i bez novca. Koliko reala ima Ivan?
Rezolucija
Pretpostavimo da Marko ima x reala, kao što Ivan ima 20 reala više, tako da ima x + 20.
Oznake → x realne vrijednosti
João → (x + 20) reala
kako su kupili dva para tenisica koji koštaju po 80 reala, pa ako sastavimo dijelove svakog od njih, morat ćemo:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Stoga je Marko imao 70 reala, a João 90 reala.
od Robsona Luiza
Nastavnik matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
