Newtonov binom je bilo koji binom povišen na broj Ne na što Ne to je prirodan broj. Zahvaljujući studijama fizičara Isaac Newton o moćima binoma, to je bilo moguće provjeriti pravilnosti koje olakšavaju prikaz polinoma generiran iz snage binoma.
Promatrajući te pravilnosti, to je također postalo moguće pronaći samo jedan od pojmova polinom, bez da je sve to potrebno izračunati, koristeći formulu općeg pojma binoma. Osim toga, Newton je primijetio vezu između kombinatorna analizaa i Newtonovi binomi, što je stvorilo Pascalov trokut izvrstan alat za praktičniji razvoj Newtonovog binoma.
Pročitajte i vi: Briot-Ruffinijev uređaj - metoda za dijeljenje polinoma
Definicija Newtonovog binoma
Definiramo kao binompolinom koji ima dva člana. U nekim je primjenama u matematici i fizici potrebno izračunati potencije binoma. Da bi se olakšao postupak, Isaac Newton primijetio je važne pravilnosti koji nam omogućuju pronalaženje polinoma koji proizlazi iz snage binoma.
U nekim je slučajevima izračun vrlo jednostavan: samo izvedite množenje binoma samo po sebi pomoću distributivnog svojstva. Do potencije reda 3, razvijamo se bez puno napora, jer su oni dobro poznati zapaženi proizvodi, ali za veće moći izračunajte iz množenja pojma po sebi Ne ponekad je to puno posla.
Primjeri
Zapamtite da je svaki broj povišen na nulu jednak 1 i da je svaki broj povišen na 1 sam po sebi, što vrijedi i za binome.
Newton je primijetio a odnos između koeficijenata svakog od pojmova i kombinacije, koji je omogućio izračun snage binoma izravnije iz sljedeće formule:
Razumijevanje formule:
Prvo pogledajmo doslovni dio svakog pojma, a to je slovo s eksponentom. Imajte na umu da je za svaki pojam eksponent “a ”smanjivao se, počevši od n, pa prelazeći na n - 1, i tako sve dok u pretposljednjem roku nije bio 1, a u posljednjem roku 0 (što čini da se slovo„ a “niti ne pojavljuje u posljednjem roku).
identificirajući The i njegovi eksponenti:
Sada analizirajmo eksponente "b", koji se uvijek povećavaju, počevši od 0 u prvom članu ( zbog čega se slovo b ne pojavljuje u prvom članu), 1 u drugom članu i tako dalje dok ne bude jednako The Neu prošlom mandatu.
identificirajući B i njegovi eksponenti:
Razumijevanje doslovnog dijela, krenimo analizirati koeficijente, koje su sve kombinacije Ne elementi uzeti od 0 do 0, 1 do 1, 2 do 2 i tako dalje do posljednjeg pojma, što je kombinacija Ne elementi preuzeti iz Ne u Ne.
Značajno je da je važno savladati izračun kombinacije kako bi mogli pronaći koeficijente. Zapamtite, da bismo izračunali kombinacije, moramo:
Kombinacijski odgovor je uvijek a prirodni broj.
Pogledajte i: Polinomna podjela: kako to riješiti?
Primjer: Izračunajte Newtonov binom (a + b) do četvrte potencije.
1. korak: napiši polinom koristeći formulu.
2. korak: izračunajte kombinacije.
Zamjenom kombinacija pronađeni polinom bit će:
Možete vidjeti da je rješavanje ovakvih slučajeva još uvijek mukotrpno, ovisno o eksponentu, ali čak je i brže od izračunavanja pomoću distributivnog svojstva. Alat koji može pomoći u ovom izračunu je Pascalov trokut.
Pascalov trokut
Pascalov trokut razvio je Blaise Pascal tijekom proučavanja kombinacija. On je način koji olakšava izračunavanje kombinacija. Korištenje Pascalovog trokuta omogućuje brže i lakše pronalaženje koeficijenata doslovnih dijelova Newtonovog binoma bez potrebe za izračunavanjem svih kombinacija.
Da bismo izravno konstruirali Pascalov trokut, sjetimo se dvije situacije u kojima je izračun kombinacije jednak 1.
Dakle, prvi i zadnji član svih redaka uvijek su jednaki 1. Središnji pojmovi grade se od zbroja pojma iznad njega plus njegova susjeda iz prethodnog stupca, kao u donjem prikazu:
Da biste izgradili sljedeće redove, samo upamtite da je prvi pojam 1, a posljednji također. Tada je dovoljno napraviti zbrojeve da otkrijemo središnje pojmove.
Također pristupite: Teorem polinomske dekompozicije
Primjer: Izračunaj (a + b) na šesti stepen.
1. korak: primijeniti formulu binoma.
2. korak: izgraditi Pascalov trokut do 6. retka.
3. korak: zamijenite kombinacije vrijednostima u retku 6, koje su koeficijenti svakog od članova binoma.
Ono što određuje broj linija koje ćemo izgraditi od binoma je vrijednost n. Važno je zapamtiti da je prvi redak nula.
Newtonov binomni opći pojam
Newtonov opći pojam binom je formula koja nam omogućuje izračunavanje člana binoma bez potrebe za razvijanjem cijelog polinoma, to jest, možemo identificirajte bilo koji od pojmova od prvog do zadnjeg. Pomoću formule izravno izračunavamo pojam koji tražimo.
The: prvi mandat
B: drugi termin
n: eksponent
p + 1: pojam za pretraživanje
Primjer: Pronađite 11. član binoma (a + b)12.
Rješenje:
Pogledajte i: Demonstracije kroz algebarskog računa
riješene vježbe
Pitanje 1 - (Cesgranrio) Koeficijent x4 u polinomu P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Razlučivost
Želimo pronaći određeni pojam u rješavanju binoma; za to moramo pronaći vrijednost p.
Znamo da je prvi član u ovom slučaju jednak x, pa je n - p = 4, kao n = 6, imamo:
Dakle, koeficijent je 60 (alternativa B).
Pitanje 2 - (Unifor) Ako je središnji pojam binomskog razvoja (4x + ky)10 za 8064x5g5, tada će alternativa koja odgovara vrijednosti k biti:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Razlučivost: Znamo da središnji pojam ima jednake koeficijente (p = 5). Nađimo 6. pojam, budući da je p + 1 = 6. Nadalje, imamo da je a = 4x; b = ky i n = 10, dakle:
Alternativa D.
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm
