O Pascalov trokut to je prilično star matematički alat. Kroz povijest je dobio nekoliko naziva, no danas su najprihvaćenija aritmetički trokut i Pascalov trokut. Drugo ime je priznanje matematičaru koji je dao nekoliko doprinosa proučavanju ovog trokuta. znači da je trokut izmislio on, ali on je bio taj koji je to dublje proučio alat.
Iz svojstava Pascalovog trokuta moguće ga je logički konstruirati. Također se ističe vaš veza sa kombinacije proučavao kombinatornu analizu. Članovi Pascalovog trokuta također odgovaraju binomnim koeficijentima i stoga je vrlo koristan za izračunavanje bilo kojeg Newtonovog binoma.
Pročitaj i: Briot-Ruffini uređaj - metoda dijeljenja polinoma
Konstrukcija Pascalovog trokuta
Pascalov trokut nastaje iz rezultata kombinacija, međutim, postoji praktična metoda koja olakšava način njegove izgradnje. Prvi red i prvi stupac broje se kao nulti redak i nulti stupac. Možemo koristiti onoliko linija koliko je potrebno u ovoj konstrukciji, stoga trokut može imati beskonačne linije. Obrazloženje za razradu redaka uvijek je isto. Izgled:
Mi to znamo pojmovi trokuta su kombinacije, studirao u kombinatorna analiza. Za zamjenu Pascalovog trokuta brojčanim vrijednostima, znamo da su kombinacije broja s nulom i broja sa samim sobom uvijek jednake 1. Stoga su prva i zadnja vrijednost uvijek 1.
Da bismo pronašli ostale, počinjemo s redom 2, budući da su redak 0 i redak 1 već gotovi. U retku 2, da bismo pronašli kombinaciju od 2 do 1, u retku iznad, odnosno u retku 1, dodajmo izraz iznad njega u isti stupac i pojam iznad njega u prethodni stupac, kao što je prikazano na slici :
Nakon izgradnje linije 2, moguće je izgraditi liniju 3 izvodeći isti postupak.
Nastavljajući ovaj postupak, pronaći ćemo sve pojmove – u ovom slučaju do reda 5 – ali moguće je izgraditi onoliko redaka koliko je potrebno.
Svojstva Pascalovog trokuta
Tamo su neke svojstva Pascalovog trokuta, zbog pravilnosti u njegovoj izgradnji. Ova svojstva su korisna za rad s kombinacijama, konstrukciju samih linija trokuta, te zbroj linija, stupaca i dijagonala.
1. svojstvo
Prvo svojstvo bilo je ono koje smo koristili za izgradnju trokuta. Tako da pronađite član u Pascalovom trokutu, samo dodajte izraz koji se nalazi u retku iznad njega i isti stupac s pojmom koji je u stupcu i retku prije njega. Ovo svojstvo se može predstaviti na sljedeći način:
Ovo svojstvo je poznato kao Stifelov odnos i važno je olakšati konstrukciju trokuta i pronaći vrijednosti svake od linija.
2. svojstvo
Zbroj svih članova u nizu izračunava se na sljedeći način:
sNe=2Ne, na što Ne je broj reda.
primjeri:
Uz ovu nekretninu moguće je znati zbroj svih članova na liniji a da ne mora nužno konstruirati Pascalov trokut. Zbroj reda 10, na primjer, može se izračunati s 210 = 1024. Iako nisu svi pojmovi poznati, već je moguće znati zbrojnu vrijednost cijele linije.
3. svojstvo
Zbroj pojmova tog niza s početka danog stupca za do određene linije Ne je isto što i izraz na liniji n+1 leđa i stupac p+1 kasnije, kao što je prikazano u nastavku:
4. svojstvo
Zbroj dijagonale koja počinje u stupcu 0 i ide do pojma u stupcu p i retku n jednak je pojmu u istom stupcu (p), ali u retku ispod (n+1), kao što je prikazano na slici :
5. svojstvo
U linijama Pascalovog trokuta postoji simetrija. Prvi i drugi član su jednaki, drugi i pretposljednji član su jednaki i tako dalje.
Primjer:
6. redak: 1615 20 156 1.
Imajte na umu da su pojmovi jednaki dva prema dva, osim središnjeg člana.
Vidi i: Polinomska podjela: kako to riješiti?
Newtonov binom
Definiramo Newtonov binom a moć jednog polinom koji ima dva pojma. Izračun binoma povezan je s Pascalovim trokutom, koji postaje mehanizam za izračunavanje onoga što nazivamo binomnim koeficijentima. Za izračunavanje binoma koristimo sljedeću formulu:
Imajte na umu da vrijednost eksponenta The smanjuje se dok u posljednjem članu nije jednaka The0. Znamo da je svaki broj podignut na 0 jednak 1, otuda i termin The ne pojavljuje se u posljednjem mandatu. Također imajte na umu da eksponent od B počinje sa B0, uskoro B ne pojavljuje se u prvom mandatu i povećava se do postizanja BNe, u prošlom mandatu.
Nadalje, broj koji prati svaki od pojmova je ono što zovemo koeficijent – u ovom slučaju poznat kao binomni koeficijent. Kako biste bolje razumjeli kako riješiti ovu vrstu binoma, pristupite našem tekstu: Newtonov binom.
binomni koeficijent
Binomni koeficijent nije ništa drugo do kombinacija, koja se može izračunati pomoću formule:
Međutim, da bismo olakšali izračun Newtonovog binoma, bitno je koristiti Pascalov trokut jer nam brže daje rezultat kombinacije.
Primjer:
Da bismo pronašli rezultat binomnog koeficijenta, pronađimo vrijednosti retka 5 Pascalovog trokuta, koje su {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+1g5
Jednostavno rečeno:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+y5
riješene vježbe
Pitanje 1 - Vrijednost donjeg izraza je?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Rezolucija
Alternativa A.
Pregrupirajući pozitivne i negativne vrijednosti, moramo:
Imajte na umu da mi zapravo izračunavamo oduzimanje između retka 4 i retka 3 Pascalovog trokuta. Po svojstvu znamo da:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
2. pitanje - Koja je vrijednost donjeg izraza?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Rezolucija
Alternativa B.
Imajte na umu da članove iz stupca 1 Pascalovog trokuta dodajemo u red 7, a zatim u 3. svojstva, vrijednost ovog zbroja jednaka je pojmu koji zauzima red 7+1 i stupac 1+1, odnosno red 8, stupac 2. Budući da želimo samo jednu vrijednost, konstruiranje cijelog Pascal trokuta nije prikladno.
Autor Raul Rodrigues de Oliveira
Nastavnik matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm