Uzmimo u obzir luk trigonometrijskog opsega koji mjeri 45 °, njegov dvostruki luk je luk od 90 °, ali to nije znači da je vrijednost trigonometrijskih funkcija (sinus, kosinus i tangenta) dvostrukog luka dvostruko veća od vrijednosti luka, primjer:
Ako je luk jednak 30 °, vaš će dvostruki luk biti 60 °. Sin 30 ° = 1/2, sin 60 ° = √3 / 2, pa shvatamo da iako je 60 ° dvostruko 30 °, sin 60 ° nije dvostruko grijeh 30 °. Tu istu situaciju možemo primijeniti na nekoliko drugih luka i trigonometrijskih funkcija, međutim doći ćemo do istog zaključka.
Općenito, uzmite u obzir bilo koji luk mjere β, njegov će dvostruki luk biti 2β, dakle, sin β ≠ sin 2β, odnosno sin 2β ≠ 2. grijeh β.
Dakle, da bismo pronašli vrijednost trigonometrijskih funkcija dvostrukog luka (sin 2β, cos 2β i tg 2β) morat ćemo slijediti neke odnose, između luka β i njegovog dvostrukog luka 2β.
Ti će se odnosi uspostaviti putem trigonometrijske funkcije zbrajanja luka. Vidi kako:
• Cos 2β
Prema dodavanju luka, cos 2β je jednak:
cos 2β = cos (β + β) = cos β. cos β - sin β. grijeh β
Pridruživanjem sličnim terminima imat ćemo:
cos 2β = cos (β + β) = cos2 β - grijeh2 β
Stoga će se izračunavanje cos 2β izvršiti pomoću sljedeće formule:
cos 2β = cos2 β - grijeh2 β
• Sen 2β
Prema dodavanju luka, sin 2β je jednak:
Sen 2β = sin (β + β) = sin β. cos β + sin β. cos β
Stavljanjem sličnih pojmova u dokaz imat ćemo:
Sen 2β = sin (β + β) = 2. grijeh β. cos β
Stoga će se izračun sin 2β izvršiti pomoću sljedeće formule:
Sen 2β = 2. grijeh β. cos β
• tg 2β
Prema dodavanju luka, tg 2β je jednak:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β
1 - tg x. tg β
Pridruživanjem sličnim terminima imat ćemo:
tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ
1 - tg2β
Stoga će se izračun tg 2β izvršiti pomoću sljedeće formule:
tg 2β = 2 tgβ
1 - tg2β
autor Danielle de Miranda
Diplomirao matematiku
Brazilski školski tim
Trigonometrija - Matematika - Brazil škola
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-arco-duplo.htm