THE jednadžba drugog stupnja dobiva svoje ime jer je polinomska jednadžba čiji je član s najvišim stupnjem u kvadratu. Naziva se i kvadratnom jednadžbom, a predstavlja je:
sjekira2 + bx + c = 0
U jednadžbi 2. stupnja, x je nepoznato i predstavlja nepoznatu vrijednost. već tekst The, B i ç nazivaju se koeficijenti jednadžbe.
Koeficijenti su stvarni brojevi i koeficijent The mora se razlikovati od nule, inače postaje jednadžba 1. stupnja.
Rješavanje jednadžbe drugog stupnja znači traženje stvarnih vrijednosti x, koji čine jednadžbu istinitom. Te se vrijednosti nazivaju korijenima jednadžbe.
Kvadratna jednadžba ima najviše dva stvarna korijena.
Potpune i nepotpune jednadžbe srednje škole
Jednadžbe 2. stupnja dovršen jesu li oni koji imaju sve koeficijente, odnosno a, b i c različiti od nule (a, b, c ≠ 0).
Na primjer, jednadžba 5x2 + 2x + 2 = 0 je gotovo jer su svi koeficijenti različiti od nule (a = 5, b = 2 i c = 2).
Kvadratna jednadžba je nepotpun kada je b = 0 ili c = 0 ili b = c = 0. Na primjer, jednadžba 2x2 = 0 je nepotpun jer je a = 2, b = 0 i c = 0
Riješene vježbe
1) Odredite vrijednosti x koji čine jednadžbu 4x2 - 16 = 0 točno.
Riješenje:
Dana jednadžba je nepotpuna jednadžba 2. stupnja, s b = 0. Za jednadžbe ove vrste možemo riješiti izoliranjem x. Tako:
Imajte na umu da kvadratni korijen iz 4 može biti 2 i - 2, jer ova dva kvadratna broja rezultiraju s 4.
Dakle korijeni jednadžbe 4x2 - 16 = 0 are x = - 2 i x = 2
2) Pronađite vrijednost x tako da je površina pravokutnika odozdo jednaka 2.
Riješenje:
Površina pravokutnika nalazi se množenjem baze s visinom. Dakle, moramo pomnožiti zadane vrijednosti i jednake 2.
(x - 2). (x - 1) = 2
Pomnožimo sada sve pojmove:
x. x - 1. x - 2. x - 2. (- 1) = 2
x2 - 1x - 2x + 2 = 2
x2 - 3x + 2 - 2 = 0
x2 - 3x = 0
Nakon rješavanja množenja i pojednostavljenja nalazimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu s c = 0.
Ova vrsta jednadžbe može se riješiti pomoću faktorizacija, jer x se ponavlja u oba termina. Pa ćemo to dokazati.
x. (x - 3) = 0
Da bi proizvod bio jednak nuli, x = 0 ili (x - 3) = 0. Međutim, zamjenjujući x prema nuli, mjerenja stranica su negativna, pa ta vrijednost neće biti odgovor na pitanje.
Dakle, imamo jedini mogući rezultat (x - 3) = 0. Rješavanje ove jednadžbe:
x - 3 = 0
x = 3
Na taj način, vrijednost x tako da je površina pravokutnika jednaka 2 je x = 3.
Bhaskara formula
Kad je kvadratna jednadžba gotova, koristimo Bhaskara formula pronaći korijene jednadžbe.
Formula je predstavljena u nastavku:
Delta formula
U Bhaskarinoj formuli pojavljuje se grčko slovo Δ (delta), koji se naziva diskriminacijom jednadžbe, jer je prema njezinoj vrijednosti moguće znati broj korijena koji će jednadžba imati.
Za izračunavanje delte koristimo sljedeću formulu:
Korak po korak
Da bismo riješili jednadžbu 2. stupnja, koristeći Bhaskarinu formulu, moramo slijediti ove korake:
1. korak: Utvrdite koeficijente The, B i ç.
Pojmovi jednadžbe ne pojavljuju se uvijek istim redoslijedom, pa je važno znati identificirati koeficijente, bez obzira na redoslijed u kojem su.
koeficijent The je broj koji ide uz x2, O B je broj koji prati x to je ç je neovisni pojam, odnosno broj koji se pojavljuje bez x.
2. korak: Izračunaj deltu.
Za izračunavanje korijena potrebno je znati vrijednost delte. Da bismo to učinili, zamjenjujemo slova u formuli vrijednostima koeficijenta.
Iz delta vrijednosti možemo unaprijed znati broj korijena koji će imati jednadžba 2. stupnja. Odnosno, ako je vrijednost Δ veća od nule (Δ > 0), jednadžba će imati dva stvarna i različita korijena.
Ako je suprotno, delta manja od nule (Δ), jednadžba neće imati stvarnih korijena i ako je jednaka nuli (Δ = 0), jednadžba će imati samo jedan korijen.
3. korak: Izračunaj korijene.
Ako je vrijednost pronađena za delta negativna, ne trebate više izračunavati, a odgovor je da jednadžba nema stvarnih korijena.
Ako je vrijednost delte jednaka ili veća od nule, moramo zamijeniti sva slova njihovim vrijednostima u Bhaskara-inoj formuli i izračunati korijene.
Vježba riješena
Odrediti korijene 2x jednadžbe2 - 3x - 5 = 0
Riješenje:
Da bismo to riješili, prvo moramo identificirati koeficijente, pa imamo:
a = 2
b = - 3
c = - 5
Sada možemo pronaći delta vrijednost. Moramo biti oprezni s pravilima znakova i imati na umu da prvo moramo riješiti potenciranje i množenje, a zatim zbrajanje i oduzimanje.
Δ = (- 3)2 - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49
Kako je pronađena vrijednost pozitivna, naći ćemo dvije različite vrijednosti za korijene. Dakle, Bhaskarinu formulu moramo riješiti dva puta. Tako imamo:
Dakle korijeni jednadžbe 2x2 - 3x - 5 = 0 are x = 5/2 i x = - 1.
Sustav jednadžbi 2. stupnja
Kada želimo pronaći vrijednosti dviju različitih nepoznanica koje istovremeno zadovoljavaju dvije jednadžbe, imamo a sustav jednadžbi.
Jednadžbe koje čine sustav mogu biti 1. i 2. stupnja. Za rješavanje ove vrste sustava možemo se poslužiti metodom supstitucije i metodom dodavanja.
Vježba riješena
Riješite sustav u nastavku:
Riješenje:
Da bismo riješili sustav, možemo se poslužiti metodom zbrajanja. Ovom metodom dodajemo slične pojmove iz 1. jednadžbe s onima iz 2. jednadžbe. Dakle, smanjujemo sustav na jednu jednadžbu.
Još uvijek možemo pojednostavniti sve pojmove u jednadžbi za 3 i rezultat će biti jednadžba x2 - 2x - 3 = 0. Rješavajući jednadžbu, imamo:
Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16
Nakon pronalaska x-vrijednosti, ne smijemo zaboraviti da još uvijek moramo pronaći y-vrijednosti koje čine sustav istinitim.
Da biste to učinili, samo zamijenite vrijednosti pronađene za x u jednoj od jednadžbi.
g1 - 6. 3 = 4
g1 = 4 + 18
g1 = 22
g2 - 6. (-1) = 4
g2 + 6 = 4
g2 = - 2
Stoga su vrijednosti koje zadovoljavaju predloženi sustav (3, 22) i (-1, - 2)
Možda će vas također zanimati Jednadžba prvog stupnja.
Vježbe
Pitanje 1
Riješite kompletnu kvadratnu jednadžbu pomoću Bhaskarine formule:
2x2 + 7x + 5 = 0
Prije svega važno je promatrati svaki koeficijent u jednadžbi, dakle:
a = 2
b = 7
c = 5
Kroz formulu diskriminanta jednadžbe moramo pronaći vrijednost Δ.
Ovo je za kasnije pronalaženje korijena jednadžbe kroz opću formulu ili Bhaskarinu formulu:
Δ = 72 – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9
Imajte na umu da ako je vrijednost Δ veća od nule (Δ > 0), jednadžba će imati dva stvarna i različita korijena.
Dakle, nakon pronalaska Δ, zamijenimo ga u Bhaskarinoj formuli:
Stoga su vrijednosti dva stvarna korijena: x1 = - 1 i x2 = - 5/2
Pogledajte još pitanja na Jednadžba u srednjoj školi - vježbe
pitanje 2
Riješite nepotpune jednadžbe drugog stupnja:
a) 5x2 - x = 0
Prvo tražimo koeficijente jednadžbe:
a = 5
b = - 1
c = 0
To je nepotpuna jednadžba gdje je c = 0.
Da bismo ga izračunali, možemo se koristiti faktorom, što u ovom slučaju predstavlja dokaz x.
5x2 - x = 0
x. (5x-1) = 0
U ovoj će situaciji proizvod biti jednak nuli kada je x = 0 ili kada je 5x -1 = 0. Pa izračunajmo vrijednost x:
Dakle, korijeni jednadžbe su x1 = 0 i x2 = 1/5.
b) 2x2 – 2 = 0
a = 2
b = 0
c = - 2
To je nepotpuna jednadžba drugog stupnja, gdje je b = 0, njezin se izračun može izvršiti izoliranjem x:
x1 = 1 i x2 = - 1
Dakle, dva korijena jednadžbe su x1 = 1 i x2 = - 1
c) 5x2 = 0
a = 5
b = 0
c = 0
U ovom slučaju, nepotpuna jednadžba prikazuje koeficijente b i c jednake nuli (b = c = 0):
Stoga korijeni ove jednadžbe imaju vrijednosti x1 = x2 = 0
Da biste saznali više, također pročitajte:
- Kvadratna funkcija
- Zbroj i proizvod
- nejednakost
- iracionalne jednadžbe
- Vrh parabole
