Vas numerički skupovi uključuju sljedeće skupove: Naturals (ℕ), Integers (teg), Rationals (ℚ), Irrationals (I), Real (ℝ) i Complexes (ℂ).
Iskoristite komentirane vježbe kako biste provjerili svoje znanje o ovom važnom predmetu Matematika.
Pitanje 1
Koja je tvrdnja u nastavku istinita?
a) Svaki cijeli broj je racionalan, a svaki stvarni broj cijeli je broj.
b) Sjecište skupa racionalnih brojeva sa skupom iracionalnih brojeva ima 1 element.
c) Broj 1.83333... je racionalan broj.
d) Podjela dvaju cijelih brojeva uvijek je cijeli broj.
Točna alternativa: c) Broj 1.83333... je racionalan broj.
Pogledajmo svaku od izjava:
a) Lažno. Zapravo je svaki cijeli broj racionalan, jer se može zapisati u obliku razlomka. Na primjer, broj -7, koji je cijeli broj, može se zapisati kao razlomak kao -7/1. Međutim, nije svaki stvarni broj cijeli broj, na primjer 1/2 nije cijeli broj.
b) Lažno. Skup racionalnih brojeva nema zajedničkog broja s iracionalnim, jer je stvarni broj racionalan ili iracionalan. Stoga je sjecište prazan skup.
c) Istina. Broj 1.83333... to je periodična desetina jer se znamenka 3 beskonačno ponavlja. Ovaj broj možemo zapisati kao razlomak kao 11/6, pa je to racionalan broj.
d) Lažno. Na primjer, 7 podijeljeno s 3 jednako je 2,33333..., što je periodična decimala, pa nije cijeli broj.
pitanje 2
Vrijednost izraza u nastavku, kada je a = 6 i b = 9, iznosi:
a) neparan prirodan broj
b) broj koji pripada skupu iracionalnih brojeva
c) nije stvaran broj
d) cijeli broj čiji je modul veći od 2
Točna alternativa: d) cijeli broj čiji je modul veći od 2.
Prvo zamijenimo slova naznačenim vrijednostima i riješimo izraz:
Imajte na umu da (-6)2 razlikuje se od - 62, prva operacija može se izvršiti kao: (-6)2 = (- 6). (- 6) = 36. Bez zagrada, samo je 6 na kvadrat, tj. - 62 = - (6.6) = -36.
Nastavljajući rezoluciju, imamo:
Imajte na umu da, budući da je indeks korijena neparan broj (kubični korijen), u skupu stvarnih brojeva postoji korijen negativnog broja. Da je korijenski indeks paran broj, rezultat bi bio složen broj.
Sada, analizirajmo svaku od predstavljenih opcija:
Mogućnost The je pogrešno jer je odgovor negativan broj koji nije dio skupa prirodnih brojeva.
Broj - 3 nije beskonačna neperiodična decimala, dakle, nije iracionalan, stoga slovo B ni to nije pravo rješenje.
Pismo ç je također pogrešno, jer je broj - 3 broj koji pripada skupu stvarnih brojeva.
Ispravna opcija može biti samo slovo d a zapravo je rezultat izraza cijeli broj, a modul od -3 je 3 što je veće od 2.
pitanje 3
U skupovima (A i B) u donjoj tablici, koja alternativa predstavlja odnos uključivanja?
Ispravna alternativa: a)
Alternativa "a" jedina je u kojoj je jedan set uključen u drugi. Skup A uključuje skup B ili je skup B uključen u A.
Pa koje su tvrdnje točne?
I - A C B
II - B C A
III - A B
IV - B Ɔ A
a) I i II.
b) I i III.
c) I i IV.
d) II i III.
e) II i IV
Ispravna alternativa: d) II i III.
I - Pogrešno - A nije sadržan u B (A Ȼ B).
II - Točno - B je sadržan u A (B C A).
III - Točno - A sadrži B (B A A).
IV - Pogrešno - B ne sadrži A (B ⊅ A).
pitanje 4
Imamo skup A = {1, 2, 4, 8 i 16} i skup B = {2, 4, 6, 8 i 10}. Prema alternativama, gdje se nalaze elementi 2, 4 i 8?
Ispravna alternativa: c).
Elementi 2, 4 i 8 zajednički su za oba skupa. Stoga se nalaze u podskupini A ∩ B (presjek A s B).
5. pitanje
S obzirom na skupove A, B i C, koja slika predstavlja A U (B ∩ C)?
Ispravna alternativa: d)
Jedina alternativa koja zadovoljava početni uvjet B ∩ C (zbog zagrada) i, kasnije, sjedinjenje s A.
pitanje 6
Provedeno je istraživanje kako bi se saznalo o kupovnim navikama potrošača u odnosu na tri proizvoda. Istraživanjem su dobiveni sljedeći rezultati:
- 40% kupuje proizvod A.
- 25% kupuje proizvod B.
- 33% kupuje proizvod C.
- 20% kupuje proizvode A i B.
- 5% kupuje proizvode B i C.
- 19% kupuje proizvode A i C.
- 2% kupuje sva tri proizvoda.
Na temelju ovih rezultata odgovorite:
a) Koji postotak ispitanika ne kupuje nijedan od ovih proizvoda?
b) Koji postotak ispitanika kupuje proizvode A i B, a ne C?
c) Koji postotak ispitanika kupuje barem jedan od proizvoda?
Odgovori:
a) 44% ispitanika ne konzumira nijedan od tri proizvoda.
b) 18% ljudi koji konzumiraju oba proizvoda (A i B) ne konzumiraju proizvod C.
c) 56% ispitanika konzumira barem jedan od proizvoda.
Da bismo riješili taj problem, napravimo dijagram za bolju vizualizaciju situacije.
Uvijek moramo započeti na presjeku tri skupa. Tada ćemo uključiti vrijednost presjeka dvaju skupova i na kraju, postotak ljudi koji kupuju samo jednu marku proizvoda.
Primjećuje se da postotak ljudi koji konzumiraju dva proizvoda također uključuje postotak ljudi koji konzumiraju tri proizvoda.
Stoga u dijagramu označavamo postotak onih koji konzumiraju samo dva proizvoda. Da bismo to učinili, moramo oduzeti postotak onih koji konzumiraju tri proizvoda od onih koji konzumiraju dva.
Na primjer, naznačeni postotak koji troši proizvod A i proizvod B iznosi 20%, međutim ta se vrijednost obračunava s 2% u odnosu na to tko konzumira tri proizvoda.
Oduzimanjem ovih vrijednosti, tj. 20% - 2% = 18%, nalazimo postotak potrošača koji kupuju samo proizvode A i B.
Uzimajući u obzir ove izračune, dijagram opisane situacije bit će prikazan na donjoj slici:
Na temelju ovog dijagrama sada možemo odgovoriti na predložena pitanja.
The) Postotak onih koji ne kupe nijedan proizvod jednak je cjelini, odnosno 100%, osim što konzumiraju bilo koji proizvod. Dakle, moramo napraviti sljedeći izračun:
100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%
Uskoro, 44% ispitanika ne konzumira nijedan od tri proizvoda.
B) Postotak potrošača koji kupuju proizvode A i B, a ne kupuju proizvod C nalazi se oduzimanjem:
20 - 2 = 18%
Stoga, 18% ljudi koji konzumiraju oba proizvoda (A i B) ne konzumiraju proizvod C.
ç) Da biste pronašli postotak ljudi koji konzumiraju barem jedan od proizvoda, samo zbrojite sve vrijednosti na dijagramu. Tako imamo:
3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%
Tako, 56% ispitanika konzumira barem jedan od proizvoda.
pitanje 7
(Enem / 2004) Proizvođač kozmetike odlučuje izraditi tri različita kataloga svojih proizvoda, ciljajući različitu publiku. Budući da će neki proizvodi biti prisutni u više kataloga i zauzimati cijelu stranicu, odlučio je izvršiti prebrojavanje kako bi smanjio troškove s tiskanim izvornicima. Katalozi C1, C2 i C3 imat će 50, 45 i 40 stranica. Uspoređujući dizajne iz svakog kataloga, otkrio je da će C1 i C2 imati 10 zajedničkih stranica; C1 i C3 imat će 6 zajedničkih stranica; C2 i C3 imat će 5 zajedničkih stranica, od kojih će 4 također biti na C1. Izvodeći odgovarajuće izračune, proizvođač je zaključio da će mu za sastavljanje tri kataloga biti potreban ukupan broj tiskanih originala jednak:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110
Ispravna alternativa: c) 118
Ovo pitanje možemo riješiti konstruiranjem dijagrama. Za to započnimo sa stranicama koje su zajedničke trima katalozima, odnosno 4 stranice.
Odatle ćemo naznačiti vrijednosti oduzimajući one koje su već obračunate. Dakle, dijagram će biti kako je naznačeno u nastavku:
Vrijednosti su pronađene sljedećim izračunima:
- Raskrižje C1, C2 i C3: 4
- Raskrižje C2, C3: 5 - 4 = 1
- Raskrižje C1 i C3: 6 - 4 = 2
- Presjek C1 i C2: 10 - 4 = 6
- Samo C1: 50 - 12 = 38
- Samo C2: 45 - 11 = 34
- Samo C3: 40 - 7 = 33
Da biste pronašli broj stranica, samo dodajte sve ove vrijednosti, tj .:
4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118
pitanje 8
(Enem / 2017) U ovom modelu termometra fileti bilježe minimalnu i maksimalnu temperaturu prethodnog dana a sivi fileti bilježe trenutnu temperaturu okoline, odnosno u vrijeme očitavanja termometar.
Dakle, ima dva stupca. S lijeve strane brojevi su u uzlaznom redoslijedu, od vrha do dna, od -30 ° C do 50 ° C. U stupcu s desne strane brojevi su poredani uzlazno, odozdo prema gore, od -30 ° C do 50 ° C.
Čitanje se vrši na sljedeći način:
- minimalna temperatura označena je donjom razinom crnog fileta u lijevom stupcu.
- maksimalna temperatura označena je donjom razinom crnog fileta u desnom stupcu.
- trenutna temperatura označena je najvišom razinom u sivim fileima u dva stupca.
Koja je najbliža maksimalna temperatura zabilježena na ovom termometru?
a) 5 ° C
b) 7 ° C
c) 13 ° C
d) 15 ° C
e) 19 ° C
Točna alternativa: e) 19 ° C
Da biste riješili problem, samo pročitajte ljestvicu u desnom stupcu crnog fileta, što predstavlja rekord maksimalne temperature.
pitanje 9
(Enem / 2017) Rezultat ankete o preferencijama birača u odnosu na dva kandidata predstavljen je pomoću Grafikona 1.
Kada je ovaj rezultat objavljen u novinama, Grafikon 1 je izrezan tijekom izgleda, kao što je prikazano na Grafikonu 2.
Iako su prikazane vrijednosti točne i širina stupaca jednaka, mnogi čitatelji kritizirao je format Grafikona 2 tiskan u novinama, tvrdeći da je kandidat imao vizualnu štetu B. Razlika između omjera visine stupca B i stupca A na grafikonima 1 i 2 iznosi:
a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35
Ispravna alternativa: e) 8/35
Da bismo riješili problem, prvo moramo pronaći omjer visine stupca B i stupca A na dva grafikona. Ti se omjeri pronalaze brojenjem koliko podjela postoji u svakom stupcu.
Imajte na umu da je na grafikonu 1 stupac A podijeljen na 7 jednakih "dijelova", dok je stupac B na 3. Na grafikonu 2. stupac A podijeljen je na 5 jednakih "dijelova", a stupac B na samo 1.
Stoga se razlomci koji predstavljaju omjere visine stupca B prema stupcu A mogu označiti sa
Sada samo riješite oduzimanje između ove dvije frakcije, pa imamo:
pitanje 10
(Enem / 2018) Da bi stvorio logotip, stručnjak na polju grafičkog dizajna želi ga izraditi pomoću skupa ravninskih točaka u obliku trokuta, točno onako kako je prikazano na slici.
Za izgradnju takve slike pomoću grafičkog alata bit će potrebno algebarski napisati skup koji predstavlja točke ove grafike.
Ovaj skup daju poredani parovi (x; y) ℕ x ℕ, takav da
a) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 ≤ x + y ≤ 20
Ispravna alternativa: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
Imajte na umu da brojka izražena u pitanju, na osi y i x, sadrži prirodne brojeve (ℕ x ℕ) između 0 i 10. Mi moramo: 0 ≤ y ≤ 10 i 0 ≤ x ≤ 10.
Dakle: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) i x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Međutim, prikazani lik je trokut. Da bi se ispunio ovaj uvjet, u uređenim parovima y ne može biti veći od x.
Imajte na umu da su vrijednosti y ograničene jednakošću s vrijednostima x, čineći hipotenuzu ovog pravokutnog trokuta: (0,0), (1; 1), (2; 2), (3; 3 ), (4; 4), (5; 5)... (10; 10).
Stoga moramo: y ≤ x.
Uskoro, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.
Da biste saznali više, također pročitajte:
- Numerički skupovi
- stvarni brojevi
- Cijeli brojevi
- Racionalni brojevi
- iracionalni brojevi
- Prirodni brojevi
- Kompleksni brojevi
- Vježbe na setovima
- Vježbe na složenim brojevima
