Jednadžbeni sustavi 1. stupnja: komentirane i riješene vježbe

Sustavi jednadžbi 1. stupnja čine skup jednadžbi koji predstavljaju više od jedne nepoznate.

Rješavanje sustava je pronalaženje vrijednosti koje istovremeno zadovoljavaju sve ove jednadžbe.

Mnogi se problemi rješavaju sustavima jednadžbi. Stoga je važno znati metode rješavanja ove vrste izračuna.

Iskoristite riješene vježbe kako biste riješili sve svoje sumnje u vezi s ovom temom.

Komentirani i riješeni problemi

1) Mornarski šegrti - 2017

Zbroj broja x i dva puta broja y iznosi - 7; a razlika između trojke tog broja x i broja y jednaka je 7. Stoga je ispravno tvrditi da je umnožak xy jednak:

a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2

Pogledajte Odgovor

Krenimo od izgradnje jednadžbi uzimajući u obzir situaciju predloženu u problemu. Dakle, imamo:

x + 2.y = - 7 i 3.x - y = 7

Vrijednosti x i y moraju istovremeno zadovoljavati obje jednadžbe. Stoga oni čine sljedeći sustav jednadžbi:

Ovaj sustav možemo riješiti metodom zbrajanja. Da bismo to učinili, pomnožimo drugu jednadžbu s 2:

Sabiranje dvije jednadžbe:

Zamjenjujući vrijednost x pronađenu u prvoj jednadžbi, imamo:

1 + 2y = - 7
2y = - 7 - 1

Dakle, umnožak xy bit će jednak:

x.y = 1. (- 4) = - 4

Alternativa: d) - 4

2) Vojno učilište / RJ - 2014

Vlak putuje iz jednog grada u drugi uvijek konstantnom brzinom. Kad se putovanje odvija sa 16 km / h veće brzine, utrošeno vrijeme smanjuje se za dva i pol sata, a kada se putuje s 5 km / h manje, potrošeno vrijeme povećava se za jedan sat. Kolika je udaljenost između ovih gradova?

a) 1200 km
b) 1000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km

Pogledajte Odgovor

Budući da je brzina konstantna, možemo koristiti sljedeću formulu:

Zatim se udaljenost pronalazi na sljedeći način:

d = v.t

Za prvu situaciju imamo:

v₁ = v + 16 i t₁ = t - 2,5

Zamjena ovih vrijednosti u formuli udaljenosti:

d = (v + 16). (t - 2,5)
d = v.t - 2,5v + 16t - 40

U jednadžbi možemo zamijeniti v.t s d i pojednostaviti:

-2,5 v + 16t = 40

Za situaciju kada se brzina smanjuje:

v₂ = v - 5 i t₂ = t + 1

Izvođenje iste zamjene:

d = (v -5). (t + 1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5

Pomoću ove dvije jednadžbe možemo sastaviti sljedeći sustav:

Rješavajući sustav metodom supstitucije, izolirajmo v u drugoj jednadžbi:

v = 5 + 5t

Zamjena ove vrijednosti u prvoj jednadžbi:

-2,5 (5 + 5t) + 16t = 40
-12,5 - 12,5t + 16t = 40
3,5t = 40 + 12,5
3,5t = 52,5

Zamijenimo ovu vrijednost kako bismo pronašli brzinu:

v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 km / h

Da biste pronašli udaljenost, jednostavno pomnožite pronađene vrijednosti brzine i vremena. Tako:

d = 80. 15 = 1200 km

Alternativa: a) 1200 km

3) Mornarski šegrti - 2016

Student je platio međuobrok od 8 reala u 50 centi i 1 reala. Znajući da je za ovu uplatu student upotrijebio 12 novčića, odnosno odredi iznos od 50 centi i jedan pravi novčić kojim su platili međuobrok i označili ispravnu opciju.

a) 5 i 7
b) 4 i 8
c) 6 i 6
d) 7 i 5
e) 8 i 4

Pogledajte Odgovor

Uzimajući u obzir x broj kovanica od 50 centi, y broj kovanica od 1 dolara i uplaćeni iznos jednak 8 reala, možemo napisati sljedeću jednadžbu:

0,5x + 1y = 8

Također znamo da je pri plaćanju korišteno 12 kovanica, pa:

x + y = 12

Sastavljanje i rješavanje sustava dodavanjem:

Zamjena pronađene vrijednosti x u prvoj jednadžbi:

8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4

Alternativa: e) 8 i 4

4) Colégio Pedro II - 2014

Iz kutije koja sadrži B bijele kuglice i P crne kuglice uklonjeno je 15 bijelih kuglica, a preostali između preostalih kuglica odnos 1 bijele i 2 crne kuglice. Zatim je uklonjeno 10 crnaca, a u kutiji je ostalo nekoliko kuglica u omjeru 4 bijela prema 3 crna. Sustav jednadžbi za određivanje vrijednosti B i P može se predstaviti:

Pogledajte Odgovor

Uzimajući u obzir prvu situaciju navedenu u problemu, imamo sljedeći omjer:

Pomnoživši ovaj udio "u križ", imamo:

2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30

Učinimo isto za sljedeću situaciju:

3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5

Sastavljajući ove jednadžbe u sustav, nalazimo odgovor na problem.

Alternativa: a)

5) Faetec - 2012

Carlos je u jednom vikendu riješio 36 matematičkih vježbi više od Niltona. Znajući da je ukupan broj vježbi koje su obje riješile 90, broj vježbi koje je Carlos riješio jednak je:

a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18

Pogledajte Odgovor

Uzimajući u obzir x kao broj vježbi koje je riješio Carlos, a y kao broj vježbi koje je riješio Nilton, možemo postaviti sljedeći sustav:

Zamjenjujući x s y + 36 u drugoj jednadžbi, imamo:

y + 36 + y = 90
2y = 90 - 36

Zamjena ove vrijednosti u prvoj jednadžbi:

x = 27 + 36
x = 63

Alternativa: a) 63

6) Enem / PPL - 2015

Šator za gađanje zabavnog parka pobjedniku će dodijeliti nagradu u iznosu od 20 R $, svaki put kad pogodi metu. S druge strane, svaki put kad promaši metu, mora platiti 10,00 dolara. Nema početne naknade za igranje igre. Jedan je sudionik ispalio 80 hitaca i na kraju je dobio 100,00 R $. Koliko je puta ovaj sudionik pogodio metu?

a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64

Pogledajte Odgovor

Gdje je x broj hitaca koji su pogodili metu, a y broj pogrešnih hitaca, imamo sljedeći sustav:

Ovaj sustav možemo riješiti metodom zbrajanja, pomnožit ćemo sve pojmove druge jednadžbe s 10 i dodati dvije jednadžbe:

Stoga je sudionik cilj pogodio 30 puta.

Alternativa: a) 30

7) Enem - 2000

Osiguravajuće društvo prikupilo je podatke o automobilima u određenom gradu i otkrilo da se godišnje ukrade u prosjeku 150 automobila. Broj ukradenih automobila marke X dvostruko je veći od broja ukradenih automobila marke Y, a marke X i Y zajedno čine oko 60% ukradenih automobila. Očekivani broj ukradenih automobila marke Y je:

a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60

Pogledajte Odgovor

Problem ukazuje na to da je broj ukradenih automobila marki x i y zajedno ekvivalentan 60% od ukupnog broja, pa:

150.0,6 = 90

Uzimajući u obzir ovu vrijednost, možemo napisati sljedeći sustav:

Zamjenjujući vrijednost x u drugoj jednadžbi, imamo:

2y + y = 90
3y = 90

Alternativa: b) 30

Pogledajte i: Vježbe na jednadžbi 1. stupnja s nepoznatim