Ustanovili smo okupacija kada povežemo jednu ili više veličina. Dio prirodnih pojava može se proučavati zahvaljujući razvoju ovog područja matematike. Proučavanje funkcija podijeljeno je u dva dijela, imamo opći dio u kojem proučavamo konceptiOpćenito, i specifični dio, gdje proučavamo određenim slučajevima, kao što su polinomske funkcije i eksponencijalne funkcije.
Pogledajte i: Kako grafički prikazati funkciju?
Što su funkcije?
Funkcija je aplikacija koja odnosi elemente dvoje setovi nije prazno. Razmotrimo dva neprazna skupa A i B, gdje je funkcija f odnositi se svaki element od A do samo jedan element B.
Da biste bolje razumjeli ovu definiciju, zamislite vožnju taksijem. Za svako putovanje, odnosno za svaku prijeđenu udaljenost, postoji drugačija i jedinstvena cijena, odnosno nema smisla da putovanje ima dvije različite cijene.
Ovu funkciju koja uzima elemente iz skupa A u skup B možemo predstaviti na sljedeće načine.
Imajte na umu da za svaki element skupa A postoji a jedan srodni element
s njim u setu B. Sad možemo razmišljati, uostalom, kada odnos između dva skupa neće biti funkcija? Pa, kada je element skupa A povezan s dva različita elementa B, ili kada postoje elementi skupa A koji nisu povezani s elementima B. Izgled:
Općenito govoreći, funkciju možemo napisati algebarski ovako:
f: A → B
x → y
Imajte na umu da funkcija uzima elemente iz skupa A (predstavljeni x) i vodi ih u elemente B (predstavljeni y). Također možemo reći da su elementi skupa B dani u smislu elemenata skupa A, pa y možemo predstaviti:
y = f(x)
Čita: (y jednako f od x)
Domena, sudomen i slika uloge
Kad imamo ulogu f, skupovi koji su povezani daju posebna imena. Pa razmislite o funkciji f koji uzima elemente iz skupa A u elemente iz skupa B:
f: A → B
Nazvan je skup A, od kojeg odnosi odlaze domena funkcije i poziva se skup koji prima "strelice" ovog odnosa protudomena. Te skupove označavamo na sljedeći način:
Df = A → Domena f
CDf = B → Protudomena od f
Poziva se podskup protudomene funkcije koju čine elementi koji se odnose na elemente skupa Slika funkcije i označava se sa:
imf → Slika korisnika f
- Primjer
Razmotrimo funkciju f: A → B predstavljenu na donjem dijagramu i odredimo domenu, protudomenu i sliku.
Kao što je rečeno, skup A = {1, 2, 3, 4} domena je funkcije f, dok je skup B = {0, 2, 3, –1} protudomena iste funkcije. Sad, primijetite da je skup koji čine elementi koji primaju strelicu (narančasto) formiran od elemenata {0, 2, –1} podskup kontradomene B, ovaj skup je slika funkcije f, Tako:
Df = A = {1, 2, 3, 4}
CDf = B = {0, 2, 3, -1}
imf = {0, 2, –1}
Kažemo da je 0 je slika elementa 1 domene, kao i 2 to je slika elemenata 2 i 3 domene i –1 je slika elementa 4 domene. Da biste saznali više o ova tri pojma, pročitajte: Ddomena, domena i slika.
Surjektivna funkcija
Funkcija f: A → B će biti surjektivno ili surjektivno ako i samo ako se skup slika podudara s protudomenom, tj. ako su svi elementi protuslovlja slike.
Tada kažemo da je funkcija surjektivna kada svi elementi protudomene dobivaju strelice. Ako želite dublje zaći u ovu vrstu funkcije, posjetite naš tekst: Funkcija overjet.
Injektivna funkcija
Funkcija f: A → B će biti injektivan ili injektivan ako i samo ako različiti elementi domene imaju različite slike u kontradomeni, tj. slične slike generiraju slični elementi domene.
Imajte na umu da je uvjet da se različiti elementi domene odnose na različite elemente protudomene, pri čemu nema problema s preostalim elementima protudomene. Da biste bolje razumjeli ovaj koncept, možete pročitati tekst: Funkcija mlaznice.
Bijectorova funkcija
Funkcija f: A → B će biti bijektivno ako i samo ako jeste injektor i surjektor istodobno, odnosno različiti elementi domene imaju različite slike, a slika se podudara s protudomenom.
- Primjer
U svakom slučaju obrazložite je li funkcija f (x) = x2 to je injektor, surjektor ili bijektor.
The) f: ℝ+ → ℝ
Imajte na umu da su domena funkcije svi pozitivni reali, a protudomena stvarni brojevi. Znamo da je funkcija f dana sa f (x) = x2, sada zamislite da su svi pozitivni realni brojevi visoko u kvadratu, sve će slike također biti pozitivne. Tako možemo zaključiti da je funkcija ubrizgavanje, a ne surjektivnost, jer negativni realni brojevi neće dobivati strelice.
Ubrizgava se, jer svaki element domene (ℝ+) odnosi se samo na jedan element protudomene (ℝ).
B) f: ℝ → ℝ+
Funkcija, u ovom slučaju, ima domenu kao i sva reala, a protudomena kao pozitivne vrijednosti. Znamo da je svaki stvarni broj na kvadrat pozitivan, pa su svi elementi protudomene dobili strelice, pa je funkcija surjektivna. Neće se ubrizgavati jer se elementi domene odnose na dva elementa protivdomene, na primjer:
f(–2) = (–2)2 = 4
f(2) = (2)2 = 4
ç) f:ℝ+ → ℝ+
U ovom primjeru funkcija ima domenu i protivdomenu kao pozitivne realne brojeve, tako da funkcija jest bijektor, jer se svaki pozitivni realni broj odnosi na jedan jedini pravi broj pozitiv protudomene, u ovom slučaju kvadrat broja. Uz to, svi brojevi protivdomena dobili su strelice.
kompozitna funkcija
THE kompozitna funkcija je povezan s ideja prečaca. Razmotrimo tri neprazna skupa A, B i C. Također razmotrite dvije funkcije f i g, gdje funkcija f uzima elemente x iz skupa A u elemente y = f (x) iz skupa B, a funkcija g elemente y = f (x) uzima u elemente z iz skupa C.
Sastavljena funkcija prima ovo ime jer je to aplikacija koja elemente iz skupa A uzima izravno u elemente iz skupa C, bez prolaska kroz skup B, kroz sastav funkcija f i g. Izgled:
Funkcija označena sa (f o g) vodi elemente iz skupa A izravno u skup C. Zove se kompozitna funkcija.
- Primjer
Razmotrimo funkciju f (x) = x2 a funkcija g (x) = x + 1. Pronađite složene funkcije (f o g) (x) i (g o f) (x).
Funkcija f o g zadana je funkcijom g primijenjenom na f, to jest:
(f o g) (x) = f (g (x))
Da bismo odredili ovu složenu funkciju, moramo uzeti u obzir funkciju f, i, umjesto varijable x, moramo napisati funkciju g. Izgled:
x2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
Slično tome, da bismo odredili složenu funkciju (g o f) (x), moramo primijeniti funkciju f u ulozi g, odnosno razmotrite funkciju g i napišite funkciju f umjesto varijable. Izgled:
(x + 1)
x2 + 1
Prema tome, složena funkcija (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Ravnomjerna funkcija
Razmotrimo funkciju f: A → ℝ, gdje je A podskup nepraznih reala. Funkcija f bit će parna samo za sve stvarne x.
Primjer
Razmotrimo funkciju f: ℝ → ℝ, dato s f (x) = x2.
Imajte na umu da je za bilo koju stvarnu x vrijednost, ako je kvadrat, rezultat uvijek pozitivan, to jest:
f (x) = x2
i
f (–x) = (–x)2 = x2
Dakle, f (x) = f (–x) za bilo koju stvarnu x vrijednost, dakle funkcija f to je par.
Pročitajte i vi:Svojstva snages - što su i kako na koristitizrak?
jedinstvena funkcija
Razmotrimo funkciju f: A → ℝ, gdje je A podskup nepraznih reala. Funkcija f bit će neparna samo za sve stvarne x.
- Primjer
Razmotrimo funkciju f: ℝ → ℝ, dato s f (x) = x3.
Pogledajte da za bilo koju vrijednost x možemo zapisati da (–x)3 = -x3. Pogledajte neke primjere:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Tako možemo reći da:
f (–x) = (–x)3 = –x3
f (–x) = (–x)3 = –f (x)
Dakle, za bilo koji stvarni x f (–x) = –f (x), i tako je funkcija f (x) = x3 je jedinstven.
povećanje funkcije
Funkcija f é rastući u intervalu ako i samo ako, kako elementi domene rastu, rastu i njihove slike. Izgled:
Imajte na umu da x1 > x2 a isto se događa sa slikom, pa možemo uspostaviti algebarski uvjet za funkciju f biti rastući.
Silazna funkcija
Funkcija f é opadajući u intervalu ako i samo ako se, kako elementi domene rastu, njihove slike smanjuju. Izgled:
Vidite da u domeni funkcije imamo x1 > x2, međutim to se ne događa na slici funkcije, gdje je f (x1)
konstantna funkcija
Kao što i samo ime kaže, a funkcija je konstantno kada, za bilo koju vrijednost domena, vrijednost slike je uvijek ista.
srodna funkcija
THE afinska funkcija ili polinom prvog stupnja zapisano je u obliku:
f (x) = ax + b
Gdje su a i b stvarni brojevi, a nije nula, a vaš je graf crta. Funkcija ima stvarnu domenu, a također i stvarnu protudomenu.
kvadratna funkcija
THE kvadratna funkcija ili polinomska funkcija drugog stupnja dana je a polinom drugog razreda, Tako:
f (x) = sjekira2 + bx + c
Gdje su a, b i c stvarni brojevi s nula, a vaš je graf a prispodoba. Uloga također ima stvarnu domenu i kontra domenu.
modularna funkcija
THE modularna funkcija s varijabla x nalazi-ako unutar modula a algebarski se izražava sa:
f (x) = | x |
Funkcija također ima stvarnu domenu i domenu brojača, odnosno možemo izračunati apsolutnu vrijednost bilo kojeg realnog broja.
eksponencijalna funkcija
THE eksponencijalna funkcijaprikazuje varijablu x u eksponentu. Također ima stvarnu domenu i stvarnu protudomenu i algebarski je opisan od:
f (x) = ax
Gdje je a stvarni broj veći od nule.
logaritamska funkcija
THE logaritamska funkcija ima varijabla u logaritmu i domena koju čine realni brojevi veći od nule.
Trigonometrijske funkcije
Na trigonometrijske funkcije imati varijabla x koja uključuje trigonometrijske omjere, glavni su:
f (x) = grijeh (x)
f (x) = cos (x)
f (x) = tg (x)
funkcija korijena
Korijensku funkciju karakterizira postojanje varijabla unutar korijena, s tim, ako je indeks korijena paran, domena funkcije postaje samo pozitivni realni brojevi.
napisao Robson Luiz
Učitelj matematike