Aritmetička progresija, poznata i kao P. A, je vrsta numeričkog niza koji je proučavala Matematika, gdje je svaki pojam ili element koji počinje od drugog jednak zbroju prethodnog člana s konstantom.
U ovoj vrsti numeričkog niza, broj se uvijek naziva omjer (predstavljen slovom r) i dobiva se razlikom jednog pojma u nizu njegovim prethodnim.
Tada će, počevši od drugog elementa niza, svi brojevi rezultirati iz zbroja konstante s vrijednošću prethodnog elementa.
Na primjer, slijed 5,7,9,11,13,15,17 možemo okarakterizirati kao aritmetičku progresiju, jer su njegovi elementi formirani zbrojem prethodnika s konstantom 2.
Vrste aritmetičkih progresija
Da bismo bolje razumjeli ovaj koncept, u nastavku slijede primjeri onoga što se smatra vrstama aritmetičkih progresija.
- (5,5,5,5,5... an) Konačna PA omjera 0
- (4,7,10,13,16... an ...) Beskonačna PA omjera 3
- (70,60,50,40,30... an) Konačni PA omjer -10
U tri primjera uočava se da je za izračunavanje omjera BP potrebno izračunati razliku između jednog pojma i pojma koji mu prethodi, kao što je prikazano na donjoj slici:
Formule općeg pojma i zbroj aritmetičke progresije
U tom smislu, korištena formula koja karakterizira opći pojam AP-a predstavljena je na sljedeći način:
Gdje imamo:
an = Opći pojam
a₁ = Prvi pojam u nizu.
n = Broj pojmova u P.A. ili položaj numeričkog pojma u P.A.
r = razlog
Međutim, ako imamo bilo koji konačni P.A, da bismo dodali njegove pojmove (elemente), doći ćemo do sljedeće formule za dodavanje n elemenata konačnog P.A.
Gdje imamo:
Sn = Zbroj prvih n članaka PA
a₁ = Prvi mandat PA
an = zauzima n-tu poziciju u nizu
n = Položaj termina
Klasifikacija aritmetičkih progresija
Što se tiče klasifikacija, aritmetičke progresije mogu se povećavati, smanjivati i konstantno.
PA će biti rastući kada je njegov omjer (r) pozitivan, odnosno veći od nule (r> 0). Numerički slijed povećat će se kad je svaki član iz drugog veći od prethodnika. Primjer: (1, 3, 5, 7, ...) je sve veći P.A omjera 2.
PA će biti opadajući ako je njegov omjer (r) negativan, odnosno manji od nule (r <0). Numerički slijed silazno će se smanjivati kada je svaki pojam iz drugog manji od prethodnika. Primjer: (15, 10, 5, 0, -5 ...) je opadajući P.A omjera - 5.
PA će biti konstantno kada je njegov omjer null, odnosno jednak je nuli (r = 0). Svi vaši uvjeti bit će isti. Primjer: (2, 2, 2, ...) je P.A konstanta s nulskim omjerom.
Aritmetička progresija i geometrijska progresija
Matematika proučava progresije kako bi definirala stvarne sekvencijalne brojeve, međutim, postoji razlika između aritmetičke progresije i geometrijske progresije.
Dok aritmetička progresija predstavlja slijed brojeva gdje su numeričke razlike između pojma i njegov je prethodnik konstantan, u geometrijskoj progresiji konstanta proizlazi iz količnika ovog pojma i njegovog prethodnik.
Vidi također značenje Geometrijska progresija.