Vježbe s složenim brojevima: Popis riješenih pitanja i povratne informacije

Vas složeni brojevi omogućuju rješavanje matematičkih problema koji nemaju rješenja u skupu stvarni brojevi.

U složenom broju napisanom kao $\ dpi {120} z = a + bi$ , to kažemo $\ dpi {120} do$ je stvarni dio, $\ dpi {120} b$ je imaginarni dio i $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ to je zamišljena jedinica.

Izvoditi operacije s složenim brojevima, postoje neki izrazi koji olakšavaju izračune. Smatrati $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ i $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Zbirni izraz između složenih brojeva:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Izražavanje oduzimanja između kompleksnih brojeva:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Izražavanje množenja između kompleksnih brojeva:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Izražavanje podjele između kompleksnih brojeva:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 } i$

Ispod je popis pitanja riješena vježbama na složenim brojevima. Naučite koristiti svaki od pojmova koji uključuju ove brojeve!

Indeks

Popis vježbi na složenim brojevima
Rješavanje pitanja 1
Rješenje pitanja 2
Rješenje pitanja 3
Rješenje pitanja 4
Rješenje pitanja 5
Rješenje pitanja 6
Rješenje pitanja 7
Rješenje pitanja 8

Popis vježbi na složenim brojevima

Pitanje 1. S obzirom na složene brojeve $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ i $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ odrediti vrijednost $\ dpi {120} A$ , Kada $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Pitanje 2. Pronađite vrijednosti $\ dpi {120} x$ i $\ dpi {120} god$ takav da $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Pitanje 3. S obzirom na složene brojeve $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ i $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , odrediti vrijednost $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Kada $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ i $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

instagram story viewer

Pitanje 4. Izračunajte vrijednost $\ dpi {120} str$ i $\ dpi {120} q$ za što $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Kada $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ i $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Pitanje 5. Odredite vrijednost $\ dpi {120} do$ za što $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ biti čisti imaginarni broj.

Pitanje 6. Izračunaj sljedeće zamišljene jedinice snage $\ dpi {120} i$ :

The) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
d) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

7. pitanje. Pronađite rješenje jednadžbe $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ u skupu kompleksnih brojeva.

Pitanje 8. Odredi rješenje jednadžbe $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ u skupu kompleksnih brojeva.

Rješavanje pitanja 1

Imamo $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ i $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ i $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ i želimo utvrditi vrijednost $\ dpi {120} A$ , Kada $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Prvo, izračunajmo $\ dpi {120} 4z_3$ i $\ dpi {120} 3z_1$ , odvojeno:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Sad izračunajmo $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

Rješenje pitanja 2

Želimo pronaći x i y tako da $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Izražavanjem zbroja između dva kompleksna broja, moramo:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Dakle, moramo imati $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ i $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Riješimo ove dvije jednadžbe kako bismo pronašli x i y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ desno strelica y = 3-2 \ desna strelica y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

Rješenje pitanja 3

Imamo $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ i $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ i želimo utvrditi vrijednost $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Kada $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ i $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Prvo izračunavamo $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Izrazom množenja između dva složena broja moramo:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

Sad izračunajmo $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1 - 3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

Stoga, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Rješenje pitanja 4

Želimo izračunati vrijednost $\ dpi {120} str$ i $\ dpi {120} q$ za što $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Kada $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ i $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Znači pronaći $\ dpi {120} str$ i $\ dpi {120} q$ tako da:

Pogledajte neke besplatne tečajeve

Besplatni internetski tečaj inkluzivnog obrazovanja
Besplatna internetska knjižnica igračaka i tečaj
Besplatni internetski tečaj matematičkih igara za predškolsku djecu
Besplatni internetski tečaj pedagoških kulturnih radionica

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Izrazom podjele između dva kompleksna broja moramo:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Pridružujući se dva uvjeta, moramo imati:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

Tj .:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Riješimo svaku od ovih jednadžbi, počevši od druge koja ovisi samo o str.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Sada q nalazimo prema drugoj jednadžbi:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

Rješenje pitanja 5

Želimo pronaći vrijednost $\ dpi {120} do$ za što $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ biti čisti imaginarni broj.

Čisti imaginarni broj je onaj čiji je stvarni dio jednak nuli.

S obzirom na izraz podjele između dva složena broja, imamo sljedeće:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Da bi ovaj broj bio čisto izmišljen, moramo imati:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

Rješenje pitanja 6

Definiranjem potencijala i kompleksnih brojeva moramo:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Promatrajte obrazac koji se ponavlja svake četiri uzastopne moći: 1, i, -1 i -i.

Dakle, da biste pronašli rezultat s bilo kojom snagom i, samo podijelite eksponent s 4. Ostatak dijeljenja bit će 0, 1, 2 ili 3 i ta će vrijednost biti eksponent koji bismo trebali koristiti.

The) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4, a ostatak je 0.

Zatim, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .