Trigonometrijske funkcije poluluka

Na trigonometrijske funkcije, sinus, kosinus i tangenta polovice luka mogu se dobiti iz trigonometrijskih funkcija dvostrukog luka.

S obzirom na luk mjere $\ dpi {120} \ alfa$ , dvostruki luk je luk $\ dpi {120} 2 \ alfa$ a polu luk je luk $\ dpi {120} \ alpha / 2$ .

Po dvije formule zbrajanja luka, imamo trigonometrijske funkcije dvostrukog luka:

Sinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (2 {\ alpha}) = sen ({\ alpha + \ alpha}) = sin \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} + sin \, {\ alfa} \ cdot cos \, {\ alfa}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = 2. (sen \, \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \, \ boldsymbol {\ alpha})}$

kosinus:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ({\ alpha + \ alpha}) = cos \, {\ alpha} \ cdot cos \, {\ alpha} - sin \, {\ alfa} \ cdot grijeh \, {\ alfa}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = cos ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha} - sen ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha}}$

Tangens:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (2 {\ alpha}) = tan ({\ alpha + \ alpha}) = \ frac {tan \, {\ alpha} + tan \, {\ alpha}} {1 - preplanuli \, {\ alpha} \ cdot preplanuli \, {\ alpha}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) = \ frac {2 \ cdot tan \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan ^ 2 \, \ boldsymbol {\ alpha }}}$

Iz ovih formula prikazat ćemo formule za polulučne trigonometrijske funkcije.

Trigonometrijske funkcije poluluka

Jedan od temeljni odnosi trigonometrije je li to:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} + cos ^ 2 \ boldsymbol {\ alpha} = 1}$

Gdje ćemo:

$\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$

$\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$

zamjenjujući $\ dpi {120} \ mathrm {sen ^ 2 \ alpha = 1 - cos ^ 2 \ alpha}$ u formuli kosinusa dvostrukog luka moramo:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = cos ^ 2 \, {\ alpha} - (1 - cos ^ 2 \, {\ alpha})}$

Pogledajte neke besplatne tečajeve

Besplatni internetski tečaj inkluzivnog obrazovanja
Besplatna internetska knjižnica igračaka i tečaj
Besplatni tečaj matematičkih igara u ranom djetinjstvu
Besplatni internetski tečaj pedagoških kulturnih radionica

$\ dpi {120} \ mathrm {= 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

Stoga: $\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 2cos ^ 2 \, {\ alpha} - 1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {cos ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1 + cos (2 \ alpha)} {2}}$

zamjenjujući $\ dpi {120} \ alfa$ po $\ dpi {120} \ alpha / 2$ u gornjoj formuli i izvlačenju kvadratnog korijena s obje strane imamo formulu za kosinus luka napola:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Napomena: Znak u formuli bit će pozitivan ili negativan prema kvadrantu polovice luka.

Sada zamjenjuje $\ dpi {120} \ mathrm {cos ^ 2 \ alpha = 1-sen ^ 2 \ alpha}$ u formuli kosinusa dvostrukog luka moramo:

instagram story viewer

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 {\ alpha}) = cos ^ 2 \, {\ alpha} - sin ^ 2 \, {\ alpha} = (1 -sen ^ 2 \, {\ alpha}) - sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {= 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

Stoga:

$\ dpi {120} \ mathrm {cos (2 \ alpha) = 1-2sen ^ 2 \, {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ mathrm {sen ^ 2 \, {\ alpha} = \ frac {1-cos (2 \ alpha)} {2}}$

zamjenjujući $\ dpi {120} \ alfa$ po $\ dpi {120} \ alpha / 2$ u gornjoj formuli i izvlačenju kvadratnog korijena s obje strane imamo formulu za sinus luka napola:

$\ dpi {120} \ mathbf {sen \, {(\ boldsymbol {\ alpha} / 2)} = \ pm \ sqrt {\ frac {1-cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {2}}}$

Napomena: Znak u formuli bit će pozitivan ili negativan prema kvadrantu polovice luka.

Napokon, možemo dobiti tangentu polovice luka, dijeleći sinus polovice luka s kosinusom polovice luka:

$\ dpi {120} \ mathrm {tan (\ alpha / 2) = \ frac {sen (\ alpha / 2)} {cos (\ alpha / 2)} = \ frac {\ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {2}}} {\ sqrt {\ frac {1 + cos \, \ alpha} {2}}} = \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ alpha} {1 + cos \, \alfa}}}$

Stoga formula polulučna tangenta é:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha} / 2) = \ pm \ sqrt {\ frac {1 - cos \, \ boldsymbol {\ alpha}} {1 + cos \, \ boldsymbol {\ alfa}}}}$

Napomena: Znak u formuli bit će pozitivan ili negativan prema kvadrantu polovice luka.

Možda će vas također zanimati:

trigonometrijski krug
trigonometrijska tablica
Trigonometrijski omjeri
zakon o grijesima
kosinusni zakon

Lozinka je poslana na vašu e-poštu.

Trigonometrijske funkcije poluluka

Trigonometrijske funkcije poluluka

Pretkolumbijska Amerika

Ravan, polupravilan i ravan segment

Barack Obama: Prvi crni predsjednik u zemlji