THE Karakterizirana je jednadžba 2. stupnja za jednog polinom stupnja 2, odnosno polinom tipa ax2+ bx + c, gdje The, B i ç oni su stvarni brojevi. Kada rješavamo jednadžbu stupnja 2, zanima nas pronalaženje vrijednosti za nepoznato. x to vrijednost izraza čini jednakom 0, koji se nazivaju korijeni, odnosno ax2 + bx + c = 0.
Pročitajte i vi: Razlike između funkcije i jednadžbe
Vrste jednadžbi 2. stupnja
Jednadžba 2. stupnja može biti predstavljen sa ax² + bx + c = 0, gdje su koeficijenti The, B i ç su stvarni brojevi, sa The ≠ 0.
→ Primjeri
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 i c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 i c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 i c = -1
Jednadžba 2. stupnja klasificirana je kao dovršen kada su svi koeficijenti različiti od 0, tj. The ≠ 0, B ≠ 0 i ç ≠ 0.
Jednadžba 2. stupnja klasificirana je kao nepotpun kada je vrijednost koeficijenata B ili ç jednake su 0, odnosno b = 0 ili c = 0.
→ Primjeri
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 i c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 i c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 i c = 0
Glavu gore: vrijednost koeficijenta The nikad nije jednako 0, ako se to dogodi, jednadžba više nije 2. stupanj.
Kako riješiti jednadžbe 2. stupnja?
Rješenje jednadžbe 2. stupnja događa se kada korijenje su pronađene, odnosno vrijednosti dodijeljene x. Ove vrijednosti x mora jednakost učiniti istinitom, to jest zamjenom vrijednosti x u izrazu, rezultat mora biti jednak 0.
→ Primjer
Uzimajući u obzir x jednadžbu2 - 1 = 0 imamo da su x ’= 1 i x’ ’= - 1 rješenja jednadžbe, jer zamjenjujući ove vrijednosti u izrazu, imamo istinsku jednakost. Izgled:
x2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 i (–1)2 – 1 = 0
Da bi se pronašlo rješenje a jednadžba, potrebno je analizirati je li jednadžba cjelovita i nepotpuna te odabrati koja će se metoda koristiti.
Metoda rješenja za jednadžbe tipa sjekira²+ c = 0
Metoda za određivanje rješenja nepotpunih jednadžbi koje imaju B=0sastoji se od izoliranja nepoznatog x, Tako:
→ Primjer
Pronađite korijene jednadžbe 3x2 – 27 = 0.
Ako želite znati više o ovoj metodi, idite na: nepotpuna jednadžba 2. stupnja s nulim koeficijentom b.
Metoda rješenja za jednadžbe tipa sjekira2 + bx = 0
Metoda za određivanje mogućih rješenja jednadžbe sa ç = 0, sastoji se od korištenja faktoring dokaza. Izgled:
sjekira2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Kada se gleda posljednja jednakost, uočljivo je da postoji množenje i da je rezultat 0, potrebno je da barem jedan od čimbenika bude jednak 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 ili sjekira + b = 0
Dakle, rješenje jednadžbe daje:
→ Primjer
Odredi rješenje jednadžbe 5x2 - 45x = 0
Ako želite znati više o ovoj metodi, idite na: nepotpuna jednadžba 2. stupnja s nulim koeficijentom c.
Metoda rješenja za cjelovite jednadžbe
Metoda poznata kao Bhaskara metoda ili Bhaskara formula ističe da korijeni jednadžbe 2. stupnja tipa ax2 + bx + c = 0 daje se sljedećim odnosom:
→ Primjer
Odredi rješenje jednadžbe x2 - x - 12 = 0.
Imajte na umu da su koeficijenti u jednadžbi: a = 1; B= - 1 i ç = – 12. Zamjenjujući ove vrijednosti u Bhaskarinoj formuli, imamo:
Delta (Δ) je dobila ime po diskriminirajući i primijetite da je unutar a korijen i, kao što znamo, uzimajući u obzir stvarne brojeve, nije moguće izvući kvadratni korijen negativnog broja.
Znajući vrijednost diskriminanta, možemo dati nekoliko izjava o rješenju jednadžbe 2. stupnja:
→ pozitivna diskriminanta (Δ> 0): dva rješenja jednadžbe;
→ diskriminanta jednaka nuli (Δ = 0): ponavljaju se rješenja jednadžbe;
→ negativni diskriminanti (Δ <0): ne priznaje pravo rješenje.
Sustavi jednadžbi drugog stupnja
Kada istovremeno razmatramo dvije ili više jednadžbi, imamo a sustav jednadžbi. Rješenje sustava s dvije varijable je skup uređenih parova koji istovremeno zadovoljava sve uključene jednadžbe.
→ Primjer
Razmotrite sustav:
S vrijednostima: x ’= 2, x’ ’= - 2 i y’ = 2, y ’’ = - 2 možemo sastaviti uređene parove koji istovremeno zadovoljavaju jednadžbe sustava. Vidi: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Sjetimo se da je poredani par napisan u obliku (x, y).
Metode pronalaženja rješenja sustava jednadžbi slične su onima iz linearni sustavi.
→ Primjer
Razmotrite sustav:
Iz jednadžbe x - y = 0, izolirajmo nepoznato x, Tako:
x - y = 0
x = y
Sada moramo zamijeniti izoliranu vrijednost u drugu jednadžbu, ovako:
x2 - x –12 = 0
g2 - y –12 = 0
Koristeći Bhaskara-inu metodu, moramo:
Budući da je x = y, imat ćemo x ’= y’ i x ’’ = y ’’. Tj .:
x ’= 4
x ’’ = -3
Dakle, uređeni parovi rješenja su sustava (4, 4) i (- 3, - 3).
Čitaj više: Sustav jednadžbi 1. i 2. stupnja
riješene vježbe
Pitanje 1 - (ESPM -SP) Rješenja donje jednadžbe su dva broja
a) rođaci.
b) pozitivna.
c) negativan.
d) parovi.
e) neparni.
Riješenje
Znamo da nazivnici razlomka ne mogu biti jednaki nuli, pa je x ≠ 1 i x ≠ 3. A budući da imamo jednakost razlomaka, možemo se višestruko množiti, dobivajući:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
x2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
x2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Podijelivši obje strane jednadžbe s 2, imamo:
x2 - 4x - 5 = 0
Korištenjem Bhaskarine formule slijedi da:
Imajte na umu da su korijeni jednadžbe neparni brojevi.
Alternativa e.
pitanje 2 - (UFPI) Uzgajivač peradi otkrio je da bi nakon postavljanja (n +2) ptica u svaku od n dostupnih volijera ostala samo jedna ptica. Ukupan broj ptica, za bilo koju prirodnu vrijednost n, uvijek je
a) paran broj.
b) neparan broj.
c) savršeni kvadrat.
d) broj djeljiv s 3.
e) prost broj.
Riješenje
Broj ptica možemo pronaći množenjem broja volijera brojem ptica smještenih u svakoj od njih. od njih, izjavom vježbe nakon izvođenja ovog postupka ostala je još jedna ptica, sve to možemo napisati u nastavku način:
n · (n + 2) +1
Izvođenjem distributivnosti dobit ćemo:
Ne2 + 2n +1
A uzimajući u obzir ovaj polinom slijedi da:
(n + 1)2
Dakle, ukupan broj ptica uvijek je savršen kvadrat za bilo koji prirodni broj n.
Alternativa C
napisao Robson Luiz
Učitelj matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm