Što je geometrijska progresija?

Možete li reći što je zajedničko sljedovima na gornjoj slici? U svih njih brojevi rastu prema nekom "logičnom obliku". Ovi brojevne sekvence može se klasificirati kao geometrijske progresije. Jedan geometrijska progresija (PG) je numerički slijed u kojem podjela elementa neposrednim prethodnim elementom uvijek rezultira istom vrijednošću, koja se naziva razlog. Još jedan zanimljiv aspekt koji karakterizira geometrijsku progresiju je onaj kada odaberemo tri uzastopnih elemenata, kvadrat srednjeg elementa uvijek će biti jednak umnošku elemenata elementa krajnosti. Na primjer, pogledajmo slijed A = (1, 2, 4, 8, 16, 32,…). Razlog možemo prepoznati odabirom bilo kojeg elementa i dijeljenjem s neposredno prethodnim pojmom. Izvedimo ovaj postupak za sve elemente koji se pojavljuju u slijedu:

32 = 2, 16 = 2; 8 = 2; 4 = 2; 2 = 2
16 8 4 2 1

Stoga je omjer niza A 2. Pogledajmo vrijedi li drugo pravilo. Odaberite tri uzastopna elementa, na primjer, 4, 8, 16. Prema pravilu, kvadrat 8 jednak je umnošku dvaju krajnjih brojeva, u ovom slučaju

4 i 16. Koristeći svojstva poboljšanja, moramo 8² = 64. Pomnožimo li krajnosti, to ćemo i dobiti 4 * 16 = 64. Primijenite ova pravila na druge progresije i saznajte je li slijed geometrijska progresija.

S obzirom na bilo koji slijed (The₁, a₂, a₃, a₄,..., The_n-1, a_Ne, …), to možemo reći, budi Ne bilo koji cijeli broj, razlog r daje:

r =  The_Ne
The_{n - 1}

Analizirajmo ostale sekvence početne tekstualne slike, provjeravajući jesu li to geometrijske progresije.

B = {5, 25, 125, 625, 3125,…}

r = 25 = 125 = 625 = 3125 = 5
5 25 125 625

C = {1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, 729}

r = – 3 =  9 = – 27 =  81 = 243 = – 3
1 – 3 9 – 27 81

D = {10; 5; 2,5; 1,25; 0,625; 0,3125 …}

r = 5 = 2,5 = 1,25 = 0,625 = 0,3125 = 1
10 5 2,5 1,25 0,625 2

Geometrijska progresija može se klasificirati prema svom razlogu. Pogledajmo moguće klasifikacije:

• Ako PG predstavlja razlog za negativna vrijednost, kažemo da je PG izmjenično ili ljuljanje, kao u primjeru Ç. Imajte na umu da niz ove vrste ima izmjenične pozitivne i negativne vrijednosti (1, -3, 9, -27, 81, -243, 729 ...);

• Kad je prvi element PG pozitivan i razlog r je Kao r> 1 ili je prvi element PG-a negativan i 0 , kažemo da je PG rastući. sekvence THE i B primjeri su sve veće geometrijske progresije;

• Ako se dogodi suprotnost konstanti PG, odnosno kada je prvi element PG negativan i razlog r je Kao r> 1 ili je prvi element PG-a pozitivan i 0 , ovo je PG opadajući. Slijed D je primjer opadajućeg PG;

• Kada PG ima omjer jednak 1, klasificira se kao PG konstantno. Slijed (2, 2, 2, 2, 2, ...) je vrsta konstante PG jer je njegov omjer 1;

• Kad PG ima najmanje nulti pojam, kažemo da je to geometrijska progresija jednina. Ne možemo utvrditi razlog singularnog PG-a. Primjer je slijed (2, 0, 0, 0, ...).

Napisala Amanda Gonçalves
Diplomirao matematiku

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-progressao-geometrica.htm