U studiji Statistički, imamo neke strategije za provjeru jesu li vrijednosti predstavljene u skupu podataka raspršene ili ne i koliko daleko mogu biti udaljene. Alati koji se koriste za to mogu se klasificirati kao mjere disperzije i nazvao varijance i standardno odstupanje. Pogledajmo što svaki od njih predstavlja:
Varijansa:
S obzirom na skup podataka, varijanca je mjera disperzije koja pokazuje koliko je svaka vrijednost u tom skupu udaljena od središnje (prosječne) vrijednosti.
Što je varijanca manja, vrijednosti su bliže srednjoj vrijednosti; ali što je veća, vrijednosti su dalje od srednje vrijednosti.
-
Razmislite o tome x1, x2, …, xNeoni su Ne elementi a uzorak je li to X i aritmetička sredina ovih elemenata. Izračun varijance uzorka Daje ga:
Var. uzorak = (x1 – x) ² + (x2 – x) ² + (x3 – x)² +... + (xNe – x)²
n - 1 -
Ako, s druge strane, želimo izračunati varijance populacije, razmotrit ćemo sve elemente populacije, a ne samo uzorak. U ovom slučaju izračun ima malu razliku. Gledati:
Var. stanovništvo = (x1 – x) ² + (x2 – x) ² + (x3 – x)² +... + (xNe – x)²
Ne
Standardno odstupanje:
Standardno odstupanje može identificirati "pogrešku" u skupu podataka ako smo jednu od prikupljenih vrijednosti željeli zamijeniti aritmetičkom sredinom.
-
Standardno odstupanje pojavljuje se uz aritmetičku sredinu, obavještavajući koliko je ta vrijednost "pouzdana". Predstavljen je na sljedeći način:
aritmetički prosjek (x) ± standardna devijacija (sd)
-
Izračun standardne devijacije izrađen je iz pozitivnog kvadratnog korijena varijance. Stoga:
dp = √var
Primijenimo sada izračun varijance i standardne devijacije u primjeru:
U jednoj je školi odbor odlučio pogledati broj učenika koji imaju sve ocjene iznad prosjeka iz svih predmeta. Kako bi ga bolje analizirala, ravnateljica Ana odlučila je sastaviti tablicu s količinom ocjena "plave" u uzorku od četiri razreda tijekom godine dana. Pogledajte ispod tablice koju je organizirao ravnatelj:
Prije izračuna varijance potrebno je provjeriti aritmetički prosjek(x) broj natprosječnih učenika u svakom razredu:
6. godine → x = 5 + 8 + 10 + 7 = 30 = 7,50.
4 4
7. godine → x = 8 + 6 + 6 + 12 = 32 = 8,00.
4 4
8. godine → x = 11 + 9 + 5 + 10 = 35 = 8,75.
4 4
9. godine → x = 8 + 13 + 9 + 4 = 34 = 8,50.
4 4
Za izračunavanje varijance broja učenika iznad prosjeka u svakom razredu koristimo a uzorak, zato koristimo formulu varijance uzorka:
Var. uzorak = (x1 – x) ² + (x2 – x) ² + (x3 – x)² +... + (xNe – x)²
n - 1
6. godine → Var = (5 – 7,50)² + (8 – 7,50)² + (10 – 7,50)² + (7 – 7,50)²
4 – 1
Var = (– 2,50)² + (0,50)² + (2,50)² + (– 0,50)²
3
Var = 6,25 + 0,25 + 6,25 + 0,25
3
Var = 13,00
3
Var = 4,33
7. godine → Var = (8 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (6 – 8,00)² + (12 – 8,00)²
4 – 1
Var = (0,00)² + (– 2,00)² + (– 2,00)² + (4,00)²
3
Var = 0,00 + 4,00 + 4,00 + 16,00
3
Var = 24,00
3
Var = 8,00
8. godine → Var = (11 – 8,75)² + (9 – 8,75)² + (5 – 8,75)² + (10 – 8,75)²
4 – 1
Var = (2,25)² + (0,25)² + (– 3,75)² + (1,25)²
3
Var = 5,06 + 0,06 + 14,06 + 1,56
3
Var = 20,74
3
Var = 6,91
9. godine → Var = (8 – 8,50)² + (13 – 8,50)² + (9 – 8,50)² + (4 – 8,50)²
4 – 1
Var = (– 0,50)² + (4,50)² + (0,50)² + (– 4,50)²
3
Var = 0,25 + 20,25 + 0,25 + 20,25
3
Var = 41,00
3
Var = 13,66
Jednom kada je poznata varijansa svake klase, izračunajmo sada standardno odstupanje:
|
6. godine dp = √var |
7. godine dp = √var |
8. godine dp = √var |
9. godine dp = √var |
Da bi zaključila svoju analizu, ravnateljica može predstaviti sljedeće vrijednosti koje ukazuju na prosječan broj učenika iznad prosjeka po anketiranom razredu:
6. godine: 7,50 ± 2,08 učenika iznad prosjeka po terminu;
7. godine: 8,00 ± 2,83 učenika iznad prosjeka za dva mjeseca;
8. godine: 8,75 ± 2,63 učenika iznad prosjeka za dva mjeseca;
9. godine: 8,50 ± 3,70 učenika iznad prosjeka za dva mjeseca;
Druga mjera disperzije je koeficijent varijacije. Izgled ovdje kako to izračunati!
Napisala Amanda Gonçalves
Diplomirao matematiku
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/medidas-dispersao-variancia-desvio-padrao.htm