Numerički skupovi: što su i karakteristike

Studija o numerički skupovi predstavlja jedno od glavnih područja matematike, jer su vrlo važna za teorijski razvoj područja i imaju nekoliko praktičnih primjena. Numerički skupovi obuhvaćaju proučavanje:

• prirodni brojevi;
• cijeli brojevi;
• racionalni brojevi;
• iracionalni brojevi;
• stvarni brojevi; i
• kompleksni brojevi.

Čitaj više: Prosti brojevi - brojevi koji imaju samo 1 i sebe kao djelitelje

Skup prirodnih brojeva

Razvoj prvih civilizacija donio je sa sobom poboljšanje poljoprivrede i trgovine i, posljedično, pomoću brojeva za predstavljanje veličina. Prvi set došao je prirodno, odakle mu i ime. Prirodni imenovani skup koristi se za predstavljanje veličina, a označava se s simbol ℕ a zapisan je u obliku niza. Izgled:

O skup brojeva naturaje é beskonačno i zatvoreno za operacije dodatak i množenje, odnosno kad god zbrojimo ili pomnožimo dva prirodna broja, odgovor je i dalje prirodan. Međutim, za operaciju oduzimanja i podjela, set nije zatvoren. Izgled:

5 – 6 = –1

3 ÷ 2 = 0,5

Imajte na umu da brojevi

–1 i 0,5 oni ne pripadaju skupu prirodnih vrsta, i to je opravdanje za stvaranje i proučavanje novih skupova brojeva.

Također, stavljajući zvjezdicu (*) u simbol prirodnog skupa, moramo ukloniti broj nula sa popisa, pogledajte:

postavljeni cijeli brojevi

Čitav set brojeva smislio je treba izvršiti operaciju oduzimanje bez ograničenja. Kao što smo vidjeli, kada se od većeg oduzme manji broj, odgovor ne pripada skupini prirodnjaka.

Skup cijelih brojeva također je predstavljen beskonačnim numeričkim nizom i označen je s simbol ℤ.

Kao i u skupu prirodnih brojeva, postavljanjem zvjezdice u simbol ℤ, element nula uklanja se iz skupa, ovako:

Simbol (-) koji prati broj označava da je simetričan, pa je simetričan broja 4 broj –4. Također imajte na umu da je skup prirodnih brojeva sadržan u skupu cijelih brojeva, odnosno da je skup prirodnih brojeva podskup skupa cijelih brojeva.

ℕ ⸦ ℤ

Pročitajte i vi: Operacije s cijelim brojevima - što su to i kako izračunati?

skup racionalnih brojeva

O skup racionalnih brojeva é predstavljen simbolom ℚ i nije prikazan numeričkim slijedom. Ovaj skup čine svi brojevi koji se mogu predstaviti kao razlomak. Njegove elemente predstavljamo na sljedeći način:

Znamo da se svaki cijeli broj može predstaviti s frakcija, odnosno skup cijelih brojeva sadržan je u onom racionalnih brojeva, pa, skup cijelih brojeva podskup je obrazloženja.

ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ

Brojevi koji imaju beskonačan prikaz, kao što je periodična desetina, također imaju prikaz u obliku razlomka, stoga su i racionalni.

Pročitajte i vi: Operacije s razlomcima - korak po korak kako ih riješiti

Skup iracionalnih brojeva

Kao što smo vidjeli, broj je racionalan ako se može zapisati kao razlomak. Također je rečeno da su beskonačni i periodični brojevi racionalni, međutim, postoje neki brojevi koji ne može se napisati u obliku razlomka i koji prema tome ne pripadaju skupu racionalnih brojeva.

Ti se neracionalni brojevi nazivaju iracionalno a njegove glavne karakteristike su beskonačnost decimalnog dijela i nefrekvencija, odnosno ne ponavlja se nijedan broj u decimalnom dijelu. Pogledajte nekoliko primjera iracionalni brojevi.

• Primjer 1

Kvadratni korijeni brojeva koji nisu savršeni kvadrati.

• Primjer 2

Konstante koje dolaze iz posebnih razloga poput zlatnog broja, Eulerovog broja ili Pi.

Skup stvarnih brojeva

O skup realnih brojeva predstavljen je simbolom ℝ, a tvori ga jedinstvoskupa racionalnih brojeva sa skupom iracionalnih brojeva. Imajte na umu da je skup obrazloženja spoj prirodnih i cjelobrojnih skupova.

Kada poredamo stvarne brojeve na liniji, imamo da je broj nula ishodište crte, desno od nule bit će pozitivni brojevi, a lijevo negativni brojevi.

Kako je ova os stvarna, možemo reći da između dva broja postoje beskonačni brojevi, a također da je ova os beskonačna u pozitivan smjer kad u negativan smjer.

Skup kompleksnih brojeva

O skup složenih brojeva to je posljednji i nastao je iz istog razloga kao i skup cijelih brojeva, odnosno to je operacija čiji razvoj samo sa skupom reala nije moguć.

Rješavajući sljedeću jednadžbu, uvidite da ona nema rješenje, znajući samo stvarne brojeve.

x² + 1 = 0

x² = –1

Imajte na umu da moramo pronaći broj koji kada uzdignutidO na kvadrat, rezultira negativnim brojem. Mi to znamo bilo koji broj na kvadrat uvijek je pozitivan, stoga ovaj izračun nema stvarno rješenje.

Tako su stvoreni složeni brojevi u kojima imamo a zamišljeni broj označeno sa ja, koja ima sljedeću vrijednost:

Dakle, shvatite da jednadžba koje prije nije imalo rješenje, sada ga ima. Provjeri:

Čitaj više: Svojstva koja uključuju složene brojeve

stvarni intervali

U nekim slučajevima nećemo koristiti svaku stvarnu os, odnosno koristit ćemo njezine dijelove koji će biti pozvani pauze. Ovi intervali su podskupovi skupa realnih brojeva. Zatim ćemo uspostaviti neke oznake za ove podskupove.

• Zatvoreni domet - bez uključivanja krajnosti

Interval je zatvoren kad je ima svoje dvije krajnosti, odnosno minimum i maksimum, i, u ovom slučaju, krajnosti ne spadaju u raspon. Označit ćemo to pomoću otvorene kugle. Izgled:

Crvenom bojom su brojevi koji pripadaju ovom rasponu, odnosno to su brojevi veće od a i manje od b. Algebarski zapisujemo takav interval kako slijedi:

< x

Gdje je broj x svi stvarni brojevi koji se nalaze u ovom rasponu. Možemo ga i simbolično predstaviti. Izgled:

] The; B [ ili (The; B)

• Zatvoreni domet - uključujući ekstreme

Sada upotrijebimo zatvorene kuglice da to prikažemo krajnosti pripadaju rasponu.

Dakle, prikupljamo stvarne brojeve koji su između a i b, uključujući i njih. Algebarski takav interval izražavamo:

vrijednost ≤ xb

Koristeći simboličke zapise, imamo:

[The; B]

• Zatvoreni domet - uključujući jednu od krajnosti

I dalje se bavimo zatvorenim intervalima, sada imamo slučaj gdje uključena je samo jedna od krajnosti. Stoga će se jedna kuglica zatvoriti, što znači da broj pripada rasponu, a druga ne, što znači da broj ne pripada tom rasponu.

Algebarski predstavljamo ovaj raspon na sljedeći način:

vrijednost ≤ x

Simbolički imamo:

[The; B [ ili [The; B)

• Otvoreni domet - kraj nije uključen

Raspon se otvara kada nema maksimum ili minimum elementa. Sada ćemo vidjeti slučaj otvorenog opsega koji ima samo maksimalni element, koji nije uključen u raspon.

Pogledajte da se asortiman sastoji od realni brojevi manji odB, a također primijetite da broj b koji ne pripada rasponu (otvorena kugla), pa, algebarski, interval možemo prikazati:

x

Simbolički ga možemo predstaviti na sljedeći način:

] – ∞; B [ ili (– ∞; B)

• Otvoreni domet - uključujući ekstremne

Sljedeći je primjer otvorenog dometa slučaj u kojem je uključena krajnost. Ovdje imamo raspon u kojem se pojavljuje minimalni element, pogledajte:

Imajte na umu da su svi stvarni brojevi veći ili jednaki broju a, tako da ovaj raspon možemo algebarski zapisati:

xdo

Simbolički imamo:

[The; +∞[ ili [The; +∞)

• otvoreni domet

Još jedan slučaj otvorenog dometa tvori brojevi veći i manji od brojeva utvrđenih na stvarnoj liniji. Izgled:

Imajte na umu da su stvarni brojevi koji pripadaju ovom rasponu oni koji su manji ili jednaki broju a ili oni koji su veći od broja b, pa moramo:

x do ilix > b

Simbolički imamo:

] – ∞; a] U] b; + ∞[

ili

(– ∞; a] U (b; + ∞)

Numerički skupovi klasificirani su prema njihovim karakteristikama.

napisao Robson Luiz
Učitelj matematike

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm