Vas prirodni brojevi bili su prvi numerički skup koji je povijesno uzet u obzir. Pojavili su se iz treba brojati ljudskog bića. Skup prirodnih brojeva kao elemente ima pozitivni brojevi i cijeli brojevi, poput 1, 2, 3, 4,…. Ovaj skup ima operacije zbrajanja, oduzimanje, množenje, dijeljenje, potenciranje i radikacije.
Što su prirodni brojevi?
prirodni brojevi su brojevi strogo pozitivno koji nemaju zarez, odnosno predstavljaju veličine cijela. Skup prirodnih brojeva može se predstaviti na sljedeći način:
Skup prirodnih brojeva je a beskonačan skup, to jest, s obzirom na bilo koji prirodni broj, postoji barem jedan broj veći od njega. Pogledajte neke primjere elemenata koji pripadaju i ne pripadaju ovom skupu.
Iz gornjeg primjera imamo da broj 10, 2 i 100 pripadaju prirodnom skupu, a brojevi 1,65, –2 i 0 ne pripadaju prirodnom skupu.
Pročitajte i vi: Zabavne činjenice o dijeljenju prirodnih brojeva
Nasljednik prirodnog broja
Kao što smo gore rekli, skup prirodnih brojeva je beskonačan skup, tj. S obzirom na bilo koji broj
Ne prirodno, uvijek postoji n + 1, također prirodno. Broj n + 1 naziva se nasljednikom n. Da bismo odredili nasljednika bilo kojeg prirodnog broja, samo dodati 1 na taj broj. Kao primjer, odredimo nasljednike brojeva 3, 1, 5 i 2p + 1.Nasljednik broja 3 dan je s 3 + 1, odnosno brojem 4. Slično tome, nasljednici 1 i 5 su, odnosno, 2 i 6. Slijedeći definiciju nasljednika, uzmimo da je nasljednik 2p + 1 2p + 1 + 1, odnosno 2p + 2.
Definicijom nasljednika postaje jasnija ideja da je skup prirodnih brojeva beskonačan, jer je uvijek moguće pronaći bilo kojeg nasljednika prirodnog broja.
Predak prirodnog broja
Prethodnik prirodnog broja Ne je onaj koji prethodi ovom broju Ne. Možemo napisati prethodnik Ne Kao n - 1. Kao primjer, odredimo prethodnike brojeva 2, 5, 1000 i 2p + 1.
Prethodnik broja 2 dobiva se s 2 - 1, dakle, to je broj 1. Slično tome, prethodnici broja 5 i 1000 brojevi su odnosno brojevi 4 i 999. Prethodnik broja 2p + 1 je 2p + 1 - 1, odnosno prethodnik 2p +1 je broj 2p.
Važno je to reći nema svaki prirodni broj prethodnika, je slučaj broja 1. Primjenjujući definiciju pretka, imamo da je prethodnik broja 1 1 - 1 = 0, ali broj nula ne pripada prirodnim brojevima. Prema tome, svaki prirodni broj ima prethodnika, osim broja 1. Iz tog se razloga broj 1 naziva minimalnim elementom prirodnih vrijednosti, odnosno najmanjim je prirodnim brojem. Te podatke možemo napisati ovako:
Podskup prirodnih brojeva
Znamo da skup prirodnih brojeva čine strogo pozitivni brojevi, odnosno brojevi veći od nule. Iz teorije o setovi, imamo to, s obzirom na skupove A i B, to kažemo B je podskup A, ako je svaki element B element A, odnosno B je sadržan u A (B ⸦ A).
Dakle, bilo koji skup formiran prirodnim brojevima bit će podskup prirodnih brojeva. Pogledajte nekoliko primjera:
Razmotrimo skupove:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12,…}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…}
C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23}
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Skupovi A, B i C podskupovi su prirodnih brojeva, jer su svi elementi tih skupova također elementi prirodnih, odnosno možemo reći da:
Sada pogledajte skup D. Imajte na umu da u ovom skupu ne pripada svaki element skupu prirodnih brojeva. To je slučaj s brojem 0. Stoga je D nije podskup prirodnih brojeva, odnosno D nije sadržan u skupu prirodnih brojeva. Ovu činjenicu označavamo na sljedeći način:
Pročitajte i vi: Prosti brojevi: što su oni i kako ih pronaći?
čak i prirodni brojevi
Kažemo da je broj čak i ako je višekratnik broja 2, što je ekvivalentno kazivanju da je taj broj djeljiv s 2. Izgled:
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…}
Budući da je skup prirodnih brojeva beskonačan, takav je i skup parnih brojeva. Također imajte na umu da je svaki element skupa parnih brojeva ujedno i element prirodnih brojeva, a time i skup parni brojevi podskup su prirodnih..
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
Vidi to:
2 = 2 · 1
4 = 2 · 2
6 = 2 · 3
8 = 2 · 4
10 = 2 ·5
12 = 2 · 6
Skup parnih brojeva može se dobiti množenjem svih prirodnih brojeva s brojem 2. Pa s obzirom na prirodni broj Ne, paran broj možemo napisati pomoću izraza 2n, tako da skup parnih brojeva možemo općenito zapisati:
Kao primjer, saznajmo jesu li brojevi 1000, 2098 i 55 parovi.
Budući da je 1000 = 2 500 i 2098 = 2 1049, oni su jednaki jer postoji prirodni broj koji ih pomnožen s 2 daje. Sada 55 nije ni parno, jer ne postoji prirodni broj koji pomnožen s 2 rezultira 55. Izgled:
54 = 2 · 27
56 = 2 · 28
Kao što dobro znamo, ne postoji prirodni broj između 27 i 28, pa 55 nije ni paran.
Neparni prirodni brojevi
Broj je neparan ako nije paran, odnosno kada nije višestruk niti djeljiv sa 2. Dakle, skup neparni prirodni brojevi su prirodni brojevi koji nisu višekratnici od 2. Ovaj skup može se napisati na sljedeći način:
{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…}
Analogno onome što smo radili u skupu parnih brojeva, imamo:
3 = 2 · 1 + 1
5 = 2 · 2 + 1
7 = 2 · 3 + 1
9 = 2 · 4 + 1
11 = 2 · 5 + 1
13 = 2 · 6 + 1
Skup neparnih brojeva može se dobiti množenjem sve prirodne brojeve sa 2 i zbrajanjem 1. s obzirom na prirodni broj Ne bilo koji, možemo napisati bilo koji neparan broj pomoću izraza 2n + 1. Općenito govoreći, skup neparnih brojeva predstavljamo:
Imajte na umu da je skup neparnih brojeva također beskonačan, jer da bismo dobili neparne brojeve množimo prirodne brojeve s 2, a zatim zbrajamo 1. Iz tog razloga, skup neparnih brojeva također je podskup prirodnih vrijednosti., jer je svaki element ovog skupa ujedno i element prirodnih.
Pogledajte i: Svojstva parnog i neparnog broja
riješene vježbe
Pitanje 1 - Navedite samo prirodne brojeve dolje navedenih brojeva:
0, 1, 2, 0,43; -1, - 0,5 i 98,765
Riješenje
Znamo da skup prirodnih brojeva čine strogo pozitivni brojevi koji nemaju zarez, pa su prirodni brojevi na popisu: 1, 2 i 98.765.
pitanje 2 - Uzimajući u obzir opći oblik parnog broja, je li istina da je, dodajući dva parna broja, rezultat i dalje paran? Isto vrijedi i za neparne brojeve?
Riješenje
Znamo da se paran broj općenito može zapisati množenjem bilo kojeg prirodnog broja s 2. Razmotrimo dva različita prirodna broja, 2n i 2m, gdje m i Ne bilo koji prirodni broj, zbroj dvaju određuje se prema:
2n + 2m
Dokazujući broj 2, imamo:
2 · (n + m)
Kao Ne i m su dva prirodna broja, njihov je zbroj također, pa je n + m = k, gdje k prirodni broj.
2 · (n + m)
2 · k
Stoga je zbroj dva parna prirodna broja ujedno i paran broj, jer je zbroj rezultirao višekratnikom 2.
Sada znamo da se neparan broj daje množenjem prirodnog broja s 2 dodanom broju 1. Sada razmotrite dva različita neparna broja, 2n +1 i 2m + 1, sa m i Ne prirodno. Zbrajanjem ovih brojeva imamo:
2n + 1 + 2m +1
2n + 2m +2
Ponovno stavljajući broj 2 u dokaze, imamo:
2 (n + m + 1)
Imajte na umu da je n + m + 1 prirodan broj i možemo ga predstaviti s p, tj. n + m + 1 = str, uskoro:
2 ·(n + m + 1)
2 · Str
Imajte na umu da je rezultat dodavanja dva neparna broja rezultirao višekratnikom od 2, to jest parom. Stoga je zbroj dva neparna broja paran broj.
Pitanje 3 - (Natječaj / Pref. iz Itaboraí) Količnik između dva prirodna broja je 10. Množenjem dividende s 5 i smanjenjem djelitelja na pola, količnik nove diobe bit će:
a) 2
b) 5
c) 25
d) 50
e) 100
Riješenje
Prema izjavi, količnik (podjela) između dva prirodna broja je 10. Kako još uvijek ne znamo koji su to brojevi, dajmo im imena m i Ne, zatim:
Sada, množeći dividendu s 5 i smanjujući djelitelj na pola, imamo:
Provođenje podjela razlomaka i zamjenjujući vrijednost m, imat ćemo:
Odgovor: Alternativa e.
napisao Robson Luiz
Učitelj matematike
