Algebra to je grana matematike koja generalizira aritmetiku. To znači da pojmovi i operacije iz aritmetike (zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje itd.) testirat će se i dokazati njihova učinkovitost za sve brojeve koji pripadaju određenim skupovima brojčani.
Radi li, primjerice, operacija "zbrajanja" na svim brojevima koji pripadaju skupu prirodnih brojeva? Ili postoji neki vrlo velik prirodni broj, blizak beskonačnosti, koji se ponaša drugačije od ostalih kad se zbroje? Odgovor na ovo pitanje daje algebra: Prvo se definira skup prirodnih brojeva i operacija se dodaje; tada je dokazano da operacija zbrajanja radi za bilo koji prirodni broj.
NAS studije algebre, slova se koriste za predstavljanje brojeva. Ta slova mogu predstavljati nepoznate brojeve ili bilo koji broj koji pripada numeričkom skupu. Ako je na primjer paran broj, tada x može biti 2, 4, 6, 8, 10,... Na taj je način x bilo koji broj koji pripada skupu parnih brojeva i jasno je kakav je broj x: višekratnik 2.
Svojstva matematičkih operacija
Znajući da bilo koji broj koji pripada skupu može biti predstavljen slovom, razmotrite brojeve x, y i z kao pripadne skupu brojeva. stvaran i operacijama dodatak i množenje predstavljeni sa „+“, odnosno „·“. Dakle, sljedeća svojstva vrijede za x, y i z:
1 - Asocijativnost
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)
2 - Komutativnost
x + y = y + x
x · y = y · x
3 - Postojanje neutralnog elementa (1 za množenje i 0 za zbrajanje)
x + 0 = x
x · 1 = x
4 - Postojanjesuprotnog (ili simetričnog) elementa.
x + (–x) = 0
x· 1 = 1
x
5 - Distribucija (također se naziva distribucijsko svojstvo množenja nad zbrajanjem)
x · (y + z) = x · y + x · z
Ovi pet svojstava vrijede za sve stvarne brojeve x, y i z, jer su ta slova korištena za predstavljanje bilo kojeg stvarnog broja. Također vrijede za operacije zbrajanja i množenja.
algebarski izrazi
U matematici, izraz je niz matematičkih operacija izvedenih s nekim brojevima. Na primjer: 2 + 3 - 7 je numerički izraz. Kada ovaj izraz uključuje nepoznate brojeve (nepoznanice), on se naziva algebarski izraz. Algebarski izraz koji ima samo jedan pojam naziva se monomij. Bilo koji algebarski izraz koji je rezultat zbrajanja ili oduzimanja između dva monoma naziva se polinom.
algebarski izrazi, monomi i polinomi primjeri su elemenata koji pripadaju algebri, jer su sastavljeni od operacija izvedenih s nepoznatim brojevima. Ne zaboravite da nepoznati broj može predstavljati bilo koji broj u skupu brojeva.
Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)
Jednadžbe
Jednadžbe oni su algebarski izrazi koji imaju jednakost. Tako, jednadžba to je sadržaj Matematike koji povezuje brojeve s nepoznatima kroz jednakost.
Prisutnost nepoznatog je ono što klasificira jednadžba kao algebarski izraz. Prisutnost jednakosti omogućuje pronalaženje rješenja jednadžbe, odnosno numeričke vrijednosti nepoznate.
Primjeri
1) 2x + 4 = 0
2) 4x - 4 = 19 - 8x
3) 2x2 + 8x - 9 = 0
Uloge
Formalna definicija funkcije je sljedeća: okupacija pravilo je koje povezuje svaki element skupa s jednim elementom drugog skupa.
Ovo je pravilo matematički predstavljeno algebarskim izrazom koji ima jednakost, ali koji nepoznato povezuje s nepoznatim. To je razlika između funkcije i jednadžbe: jednadžba povezuje nepoznat s fiksnim brojem; na okupacija, nepoznato predstavlja čitav numerički skup. Iz tog razloga, unutar funkcija, nepoznanice se nazivaju varijablama, jer mogu poprimiti bilo koju vrijednost unutar skupa koji predstavljaju.
Kako uključuje algebarske izraze, okupacija to je također sadržaj koji pripada Algebri, jer slova predstavljaju bilo koji broj koji pripada bilo kojem skupu brojeva.
Primjeri:
1) Razmotrimo funkciju y = x2, gdje je x bilo koji pravi broj.
U ovome okupacija, varijabla x može poprimiti bilo koju vrijednost unutar skupa realnih brojeva. Budući da je pravilo povezivanja brojeva predstavljenih x s brojevima predstavljenim y-om osnovna matematička operacija, tako y predstavlja i stvarne brojeve. Jedini detalj u vezi s tim je da y ne može predstavljati negativan realni broj u ovoj funkciji, jer je y rezultat eksponentne snage 2, koja će uvijek imati pozitivan rezultat.
2) Razmotrimo funkciju y = 2x, gdje je x a prirodni broj.
U ovome okupacija, varijabla x može poprimiti bilo koju vrijednost unutar skupa prirodnih brojeva. Ti su brojevi pozitivni cijeli brojevi, pa su vrijednosti koje y može uzeti prirodni brojevi višekratnici 2. Na taj je način y predstavnik skupa parnih brojeva.
Od klasične algebre do apstraktne algebre
Do sada navedeni pojmovi čine klasična algebra. Ovaj je dio algebre više povezan sa skupovima prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih, iracionalnih, stvarnih i složenih brojeva i proučava se u osnovnom i visokom obrazovanju. Drugi dio algebre, poznat kao apstraktni, proučava te iste strukture, ali za bilo koji skup.
Dakle, s obzirom na bilo koji skup, s bilo kojim elementima (brojevima ili ne), moguće je definirati operaciju "zbrajanje", operaciju "množenje" i provjeriti postojanje ili ne svojstava tih operacija, kao i valjanost "jednadžbi", "funkcija", "polinoma" itd.
Napisao Luiz Paulo Moreira
Diplomirao matematiku
