Trokutasta matrica: vrste, odrednica, vježbe

Matrica je trokutasta kada su elementi iznad glavne dijagonale ili elementi ispod glavne dijagonale nula. Dvije su moguće klasifikacije za ovu vrstu matrice: prva je kada su elementi iznad glavne dijagonale nuli, što postavlja donju trokutastu matricu; drugo je kada su elementi ispod glavne dijagonale nuli, postavljajući gornju trokutastu matricu.

Da biste izračunali odrednicu trokutaste matrice prema Sarrusovom pravilu, samo izvedite množenje glavne dijagonale, jer će sva ostala množenja biti jednaka nuli.

Pročitajte i vi: Niz - što je to i postojeći tipovi

Trokutasta matrica je osobiti slučaj matrice.

Vrste trokutastih matrica

Da bismo razumjeli što je trokutasta matrica, važno je zapamtiti koja je glavna dijagonala kvadratne matrice, a to je matrica koja ima jednak broj redaka i stupaca. Glavna dijagonala matrice su pojmovi a._{i J}, gdje je i = j, odnosno oni su pojmovi u kojima je broj retka jednak broju stupca.

Primjer:

Pojmovi na glavnoj dijagonali označeni su crvenom bojom.

Razumijevajući što je kvadratna matrica i koja joj je glavna dijagonala, znajmo što je trokutasta matrica i njene klasifikacije. Dvije su moguće klasifikacije trokutaste matrice:

Thedonja trokutasta matrica i gornja trokutasta matrica.

• Donja trokutasta matrica: događa se kada su svi pojmovi iznad glavne dijagonale jednaki nuli, a pojmovi ispod glavne dijagonale stvarni brojevi.

Numerički primjer:

• Gornja trokutasta matrica: nastaje kada su svi pojmovi ispod glavne dijagonale jednaki nuli, a pojmovi iznad glavne dijagonale stvarni brojevi.

Numerički primjer:

dijagonalna matrica

Dijagonalna matrica je a osobiti slučaj trokutaste matrice. U njemu su jedini pojmovi koji nisu nula oni koji su sadržani u glavnoj dijagonali. Pojmovi iznad ili ispod glavne dijagonale jednaki su nuli.

Numerički primjeri dijagonalne matrice:

Odrednica trokutaste matrice

S obzirom na trokutastu matricu, pri izračunavanju odrednice ove matrice pomoću Sarrusova vladavina, možete vidjeti da su sva množenja jednaka nuli, osim množenja pojma glavne dijagonale.

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃ + the₁₂ · A₂₃ · 0 + the₁₃ · 0 · 0 - (The₁₃ · The₂₃ ·0 + the₁₁ · A₂₃ · 0 + the₁₂ · 0· A₃₃)

Imajte na umu da je u svim terminima, osim prvog, nula jedan od čimbenika i to svi množenje nula je jednako nuli, pa:

det (A) = a₁₁ · A₂₂· A₃₃

Imajte na umu da je ovo umnožak između pojmova glavne dijagonale.

Bez obzira na broj redaka i stupaca koje ima trokutasta matrica, njezin odrednica će uvijek biti jednaka umnošku članaka glavne dijagonale.

Pogledajte i: Odrednica - značajka primijenjena na kvadratne matrice

Svojstva trokutaste matrice

Trokutasta matrica ima neka specifična svojstva.

• 1. svojstvo: odrednica trokutaste matrice jednaka je umnošku članaka glavne dijagonale.
• 2. svojstvo: umnožak između dvije trokutaste matrice je trokutasta matrica.
• 3. svojstvo: ako je jedan od članova glavne dijagonale trokutaste matrice jednak nuli, tada će njegova odrednica biti jednaka nuli i, prema tome, neće biti obrnuta.
• 4. svojstvo: inverzna matrica trokutaste matrice također je trokutasta matrica.
• 5. svojstvo: zbroj dviju gornje trokutastih matrica gornja je trokutasta matrica; slično je zbroj dviju donjih trokutastih matrica donja trokutasta matrica.

riješene vježbe

1) S obzirom na matricu A, vrijednost odrednice A je:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Razlučivost

Alternativa d.

Ova je matrica niže trokutasta, pa je njezina odrednica množenje članaka na glavnoj dijagonali.

det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45

2) Prosudite sljedeće izjave.

I → Svaka kvadratna matrica je trokutasta.

II → Zbroj gornje trokutaste matrice s donjom trokutastom matricom uvijek je trokutasta matrica.

III → Svaka dijagonalna matrica identiteta je trokutasta matrica.

Točan redoslijed je:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) Ž, Ž, V.

e) V, V, F.

Razlučivost

Alternativa d.

I → False, jer je svaka trokutasta matrica kvadratna, ali nije svaka kvadratna matrica trokutasta.

II → Netačno, jer zbroj između gornje i donje trokutaste matrice ne rezultira uvijek trokutastom matricom.

III → Tačno, budući da su pojmovi različiti od dijagonale jednaki nuli.

Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike

Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm