Množenje matrica: kako izračunati, primjeri

THE mmnoženje matrice se izvodi kroz algoritam koji zahtijeva puno pažnje. Da bi postojao proizvod između matrice A i matrice B, potrebno je da broj od stupaca daje prvi zapovjedništvo, u slučaju A, jednak je broju linije daje ponedjeljak zapovjedništvo, u slučaju B.

Iz množenja između matrica moguće je razumjeti što je to identitetna matrica, a koja je neutralni element množenja matrice, a što je inverzna matrica matrice M, što je matrica M^-1 čiji je umnožak M po M^-1 jednak je matrici identiteta. Također je moguće pomnožiti matricu s realnim brojem - u ovom slučaju množimo svaki od članaka zapovjedništvo po broju.

Pročitajte i vi: Što je trokutasta matrica?

uvjet postojanja

Množenje između matrica postupak je koji zahtijeva puno pažnje.

Da biste pomnožili dvije matrice, prvo je potrebno provjeriti uvjet postojanja. Da bi proizvod postojao, broj stupaca u prvoj matrici mora biti jednak broju redaka u drugoj matrici. Nadalje, rezultat množenja je matrica koja ima jednak broj redaka kao prva matrica i isti broj stupaca kao druga matrica.

Na primjer, umnožak AB između matrica A_3x2 i B_2x5 postoji jer je broj stupaca u A (2 stupca) jednak broju redaka u B (2 retka), a rezultat je matrica AB_3x5. Već proizvod između C matrica_3x5 i matrica D_2x5 ne postoji, jer C ima 5 stupaca, a D ima 3 retka.

Ne zaustavljaj se sada... Ima još toga nakon oglašavanja;)

Kako izračunati umnožak između dvije matrice?

Da biste izveli množenje matrice, potrebno je slijediti neke korake. Napravit ćemo primjer množenja algebarske matrice A_2x3 matricom B_3x2

Znamo da proizvod postoji, jer matrica A ima 3 stupca, a matrica B, 3 retka. Rezultat množenja A · B nazvat ćemo C. Uz to, također znamo da je rezultat C matrica._2x2, jer matrica A ima 2 retka, a matrica B, dva stupca.

Da bi se izračunao umnožak matrice A_2x3 i matrica B_3x2, slijedimo nekoliko koraka.

Prvo ćemo pronaći svaki od članaka matrice C_2x2:

Da pronađemo pojmove, krenimo uvijek povežite retke matrice A sa stupcima matrice B:

ç₁₁ → 1. redak A i 1. stupac B
ç₁₂ → 1. redak A i 2. stupac B
ç₂₁ → 2. redak A i 1. stupac B
ç₂₂ → 2. redak A i 2. stupac B

Svaki od pojmova izračunavamo množenjem pojmova u retku A i pojmova u stupcu B. Sada moramo dodati ove proizvode, počevši od ç_11:

1. redak A
1. stupac B

ç₁₁ = The₁₁· B₁₁ + The₁₂· B₂₁+ The₁₃· B₃₁

računajući ç₁₂:

1. redak A
2. stupac B

ç₁₂ = The₁₁· B₁₂ + The₁₂· B₂₂+The₁₃· B₃₂

računajući ç₂₁:

2. redak A
1. stupac B

ç₂₁ = The₂₁· B₁₁ + The₂₂· B₂₁+The₂₃· B₃₁

izračunavanje pojma ç₂₂:

2. redak A
2. stupac B

ç₂₂ = The₂₁· B₁₂ + The₂₂· B₂₂+The₂₃· B₃₂

Dakle, matricu C čine pojmovi:

Primjer:

Izračunajmo množenje između matrica A i B.

To znamo u A_2x2 i B_2x3, broj stupaca u prvom jednak je broju redaka u drugom, tako da proizvod postoji. Tako ćemo napraviti C = A · B i znamo da je C_2x3.

Množeći se, moramo:

Pogledajte i: Što je transponirana matrica?

Matrica identiteta

U množenju između matrica postoje neki posebni slučajevi, poput matrica identiteta, koja je neutralni element množenja između matrica.. Matrica identiteta je kvadratna matrica, odnosno broj redaka uvijek je jednak broju stupaca. Nadalje, samo su članovi dijagonale u njoj jednaki 1, a svi ostali članovi jednaki su nuli. Kad matricu M pomnožimo s matricom identiteta I_Ne, Mi moramo:

M · I_Ne = M

Matrice identiteta od reda 2 do reda 5

Primjer:

Što je inverzna matrica?

S obzirom na matricu M, znamo je kao inverznu matricu M. matrica M^-1čiji je proizvod M · M^-1 jednako à matrica identiteta I_Ne. Da bi matrica imala inverzu, ona mora biti kvadratna i to determinanta mora se razlikovati od 0. Pogledajmo primjere matrica koje su inverzne:

Izračunavajući umnožak A · B, moramo:

Imajte na umu da umnožak između A i B generirane matrice I₂. Kad se to dogodi, kažemo da je B inverzna matrica od A. Da biste saznali više o ovoj vrsti matrice, pročitajte: Inverzna matrica.

Množenje matrice s realnim brojem

Za razliku od množenja između matrica, postoji i množenje matrica s jednim pravi broj, što je mnogo jednostavnija operacija za pronalaženje rješenja.

S obzirom na matricu M, množenje matrice s realnim brojem k jednak je matrici kM. Da biste pronašli ovu matricu kM, dosta pomnoži sve pojmove u matrici konstantom k.

Primjer:

ako k = 5 i s obzirom na matricu M dolje, pronađite matricu 5M.

Množenje:

riješene vježbe

Pitanje 1 - (Unitau) S obzirom na matrice A i B,

vrijednost elementa c₁₁ matrice C = AB je:

A) 10.

B) 28.

C) 38.

D) 18.

E) 8.

Razlučivost

Alternativa A.

Kako želimo pojam c₁₁, pomnožimo pojmove u prvom retku i A s pojmovima u prvom stupcu B.

izračunavanje c₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

Pitanje 2 - (Enem 2012) Učenik je dvomjesečne ocjene nekih svojih predmeta registrirao u tablici. Primijetio je da su numerički unosi u tablicu tvorili matricu 4 × 4 te da je mogao izračunati godišnje prosjeke za te discipline koristeći umnožak matrica. Svi testovi imali su jednaku težinu, a tablica koju je dobio prikazana je u nastavku.

Da bi dobio ove prosjeke, umnožio je matricu dobivenu iz tablice matricom:

Razlučivost

Alternativa E.

Prosjek nije ništa više od zbroja elemenata podijeljenog s brojem elemenata. Imajte na umu da postoje 4 bilješke u retku, pa bi prosjek bio zbroj tih bilješki podijeljen s 4. Dijeljenje sa 4 isto je što i množenje sa frakcija ¼. Također, matrica ocjena je matrica 4x4, pa moramo pomnožiti s matricom 4x1, odnosno ima 4 retka i 1 stupac, kako bismo pronašli matricu koja ima prosjek ocjena.

Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike