Mi znamo kako ponovite aranžman ili cjelovit aranžman, sve poredane pregrupiranja s kojima možemo formirati k elementi skupa sa Ne elementi, s elementom Ne mogu se pojaviti više puta. THE kombinatorna analiza to je područje matematike koje razvija tehnike brojanja za pronalaženje broja mogućih klastera u određenim situacijama.
Među tim grupiranjima postoji aranžman s ponavljanjem, prisutan, na primjer, u stvaranje lozinki, registarskih tablica, između ostalih. Da bismo riješili ove situacije, primjenjujemo formulu rasporeda s ponavljanjem kao tehniku brojanja. Postoje različite formule za izračunavanje aranžmana koji se ponavlja i aranžmana koji se ne ponavlja, pa je važno znati razlikovati svaku od ovih situacija kako biste primijenili ispravnu tehniku brojanja.
Pročitajte i vi: Temeljno načelo brojanja - glavni koncept kombinatorne analize
Što je dogovor s ponavljanjem?
![Postoji dogovor s ponavljanjem u proizvodnji tablica vozila. [1]](/f/46a11aed3d571c029896ad4272473301.jpg)
U našem svakodnevnom životu nailazimo na situacije koje uključuju sekvence i grupiranja koja se pojavljuju u odaberite lozinke s društvenih mreža ili banke, kao i za brojeve telefona ili situacije koje uključuju redovi. Svejedno, okruženi smo situacijama koje uključuju ta grupiranja.
Na primjer, na registarskim pločicama, koje se sastoje od tri slova i četiri broja, nalazi se znak jedinstveni niz po državi koji identificira svaki automobil, u ovom slučaju radimo aranžmani. Kada je moguće ponoviti elemente, radimo s kompletnim aranžmanom ili aranžmanom s ponavljanjem.
S obzirom na set sa Ne elemente, znamo kao raspored s ponavljanjem sve grupe s kojima se možemo formirati k elementi ovoga postavljen, gdje se element može ponoviti više puta. Na primjer, na registarskim oznakama vozila to je broj mogućih registarskih oznaka koje možemo oblikovati uzimajući u obzir da imaju tri slova i četiri broja te da se slova i brojevi mogu ponavljati.
Za izračunavanje broja mogućih ponavljajućih aranžmana koristimo vrlo jednostavnu formulu.
Formula aranžmana s ponavljanjem
Da biste pronašli puni iznos aranžmana Ne različiti elementi preuzeti iz k u
Oh, u datoj situaciji koja dopušta ponavljanje elementa koristimo sljedeću formulu:
ZRAKNe,k = Nek
AR → aranžman s ponavljanjem
Ne → broj elemenata u skupu
k → broj elemenata koji će biti izabrani
Pogledajte i: Jednostavna kombinacija - broji sve podskupine datog skupa
Kako izračunati broj ponavljajućeg aranžmana
Da biste bolje razumjeli kako primijeniti formulu ponovljenog rasporeda, pogledajte primjer u nastavku.
Primjer 1:
Lozinka banke ima pet znamenki koje se sastoje isključivo od brojeva, koliki je broj mogućih lozinki?
Znamo da je lozinka petznamenkasti niz i da nema ograničenja za ponavljanja, pa ćemo primijeniti formulu rasporeda s ponavljanjem. Korisnik mora odabrati između 10 znamenki koja će sastaviti svaku od pet znamenki ove lozinke, odnosno želimo izračunati raspored s ponavljanjem 10 elemenata uzetih svakih pet.
ZRAK10,5 = 105 = 10.000
Dakle, postoji 10.000 mogućnosti lozinke.
Primjer 2:
Znajući da se registarske tablice vozila sastoje od tri slova i četiri broja, koliko registarskih tablica je moguće oblikovati?
Naša se abeceda sastoji od 26 slova i postoji 10 mogućih brojeva, pa podijelimo u dva cjelovita niza i pronađimo broj mogućih nizova za slova i brojeve.
ZRAK26,3 = 26³ = 17.576
ZRAK10,4 = 104 = 10.000
Dakle, ukupni mogući aranžmani su:
17.576 · 10.000 = 1.757.600.000
Razlika između jednostavnog aranžmana i ponovljenog aranžmana
Razlikovanje jednostavnog aranžmana od aranžmana ponavljanjem je neophodno za rješavanje problema na temu. Važno za razlikovanje je shvatiti da kada imamo posla sa situacijom u kojoj postoje pregrupiranja čiji je redoslijed važan, a ako ta pregrupiranja dopuštaju ponavljanje između pojmova, to je aranžman s ponavljanjem, poznat i kao aranžman dovršen. Kada pregrupiranje ne dopušta ponavljanje, riječ je o jednostavan aranžman.
Formula za jednostavni raspored razlikuje se od one koju koristimo za ponovljeni raspored.
Primjere ponavljanja dogovora vidjeli smo ranije, sada pogledajte primjer jednostavnog aranžmana
Primjer:
Paulo želi staviti na svoju policu tri od svojih 10 školskih knjiga, koje se međusobno razlikuju, na koliko načina može organizirati te knjige?
Imajte na umu da je u ovom slučaju redoslijed važan, ali nema ponavljanja, jer je to jednostavan raspored. Da bismo pronašli broj mogućih grupiranja, moramo:
Da biste saznali više o ovom drugom obliku grupiranja koji se koristi u kombinatornoj analizi, pročitajte tekst: THEjednostavan aranžman.
Riješene vježbe:
Pitanje 1 - (Enem) Banka je tražila od svojih klijenata da stvore osobnu šestoznamenkastu lozinku, koja se sastoji samo od brojeva od 0 do 9, za pristup tekućem računu putem interneta. Međutim, stručnjak za elektroničke sigurnosne sustave preporučio je upravi banke da ponovno registrira svoje korisnike, zahtijevajući da svaki od njih, stvaranje nove lozinke sa šest znamenki, koja sada omogućuje upotrebu 26 slova abecede, uz znamenke od 0 do 9. U ovom novom sustavu, svako veliko slovo smatralo se različitim od svoje male verzije. Nadalje, zabranjena je uporaba drugih vrsta znakova.
Jedan od načina za procjenu promjene u sustavu lozinki je provjera koeficijenta poboljšanja, što je razlog za novi broj mogućnosti lozinki u odnosu na staru. Koeficijent poboljšanja preporučene promjene je:
Razlučivost
Alternativa A
Stara lozinka je niz s ponavljanjem, jer se može sastojati od svih brojeva, pa je to niz od 10 elemenata koji se uzimaju svakih šest.
ZRAK10,6 = 106
Nova lozinka može se sastojati od 10 znamenki, a također i velikih slova (26 slova) i malim slovima (26 slova), tako da lozinka za svaku znamenku ima ukupno 10 + 26 + 26 = 62 mogućnosti. Budući da postoji šest znamenki, izračunat ćemo raspored s ponavljanjem 62 elementa uzetih svakih šest.
ZRAK62,6 = 626
THE razlog novog broja lozinki u odnosu na staru jednako je 626/106.
Pitanje 2 - (Enem 2017.) Tvrtka će izgraditi svoje web mjesto i nada se da će privući publiku od otprilike milijun kupaca. Da biste pristupili ovoj stranici, trebat će vam lozinka u formatu koji će definirati tvrtka. Programer nudi pet mogućnosti formata, opisanih u tablici, gdje "L" i "D" predstavljaju veliko slovo i znamenku.
Abecedna slova, među 26 mogućih, kao i znamenke, među 10 mogućih, mogu se ponoviti u bilo kojoj od opcija.
Tvrtka želi odabrati opciju formata čiji je broj mogućih različitih lozinki veći od očekivani broj kupaca, ali da taj broj ne prelazi dvostruko veći od očekivanog broja kupci.
Razlučivost
Alternativa E
Izračunavanjem svake od mogućnosti želimo pronaći lozinku koja ima više od milijun mogućnosti i manje od dva milijuna mogućnosti.
I → LDDDDD
26 ·105 je veći od dva milijuna, tako da ne udovoljava zahtjevu tvrtke.
II → DDDDDD
106 jednak je milijunu, tako da ne udovoljava zahtjevu tvrtke.
III → LLDDDD
26² · 104 je veći od dva milijuna, tako da ne udovoljava zahtjevu tvrtke.
IV → DDDDD
105 je manji od milijun, tako da ne zadovoljava zahtjev tvrtke.
V → LLLDD
26³ · 10² je između milijun i dva milijuna, tako da je ovaj predložak lozinke idealan.
Kredit za sliku
[1] Rafael Berlandi / Shutterstock
Napisao Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
Izvor: Brazil škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm
