हम बुलाते है शंकु एक ज्यामितीय ठोस, जिसे a. के रूप में भी जाना जाता है गोल शरीर या क्रांति का ठोस, जो इसका एक वृत्ताकार आधार है और इसे एक त्रिभुज के घूर्णन से बनाया गया है।. शंकु और अन्य ज्यामितीय ठोस स्थानिक ज्यामिति के अध्ययन की वस्तुएं हैं। इसकी विशेषताओं के अनुसार, इसे इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:
- सीधा शंकु;
- तिरछा शंकु;
- समबाहु शंकु।
यहां है शंकु के कुल क्षेत्रफल और आयतन की गणना के लिए विशिष्ट सूत्र.
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चिह्न तत्व
शंकु एक है ठोस ज्यामितिक जाना जाता है क्रांति ठोस. हमारे दैनिक जीवन में बहुत मौजूद है, यह होने के लिए क्रांति के ठोस के रूप में जाना जाता है a. के घूर्णन से निर्मित त्रिकोण.
इसका आधार हमेशा एक वृत्त होता है। आधार के अलावा, एक और महत्वपूर्ण तत्व है आकाशीय बिजलीआर परिधि का, जिसे शंकु के आधार की त्रिज्या के रूप में जाना जाता है। इसके अलावा, वहाँ है शिखर शंकु (वी) और ऊंचाई (एच), जो, परिभाषा के अनुसार, वह खंड है जो शीर्ष को छोड़ देता है और आधार के लंबवत है, यानी यह 90º का कोण बनाता है।
पहले से बताए गए तत्वों के अलावा, शंकु में एक और महत्वपूर्ण तत्व है, जो है
जेनरेटरट्रिक्स. हम किसी भी खंड को कहते हैं जो शीर्ष से शुरू होता है और मिलता है परिधि आधार से।छवि में जेनेट्रिक्स एवी लाइन खंड है। ध्यान दें कि वह है स्ट्रोक त्रिकोण का कर्ण, जल्द ही हम एक रिश्ता स्थापित कर सकते हैं पाइथागोरस त्रिज्या, ऊंचाई और जेनरेट्रिक्स के बीच।
जी² = आर² + एच²
जी → शंकु जनरेटर
आर→ आधार त्रिज्या
एच→ ऊंचाई
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चिह्न वर्गीकरण
इसकी विशेषताओं के अनुसार, हम शंकु को दो स्थितियों में वर्गीकृत कर सकते हैं: सीधा या तिरछा। एक सीधे शंकु के विशेष मामले के रूप में, समबाहु शंकु होते हैं।
तिरछा शंकु
एक शंकु को तिरछा कहा जाता है जब शीर्ष को उसके आधार के केंद्र से जोड़ने वाला खंड शंकु की ऊंचाई से मेल नहीं खाता है।
जब शीर्ष को आधार के केंद्र के साथ संरेखित नहीं किया जाता है, तो वह खंड जो शीर्ष को केंद्र के केंद्र से जोड़ता है परिधि यह अब सीधे शंकु की तरह ऊँचाई नहीं है। ध्यान दें कि छवि में शंकु की धुरी, आधार के लंबवत नहीं है. इस मामले में, उनके जनक सभी सर्वांगसम नहीं हैं, इसलिए उनकी लंबाई का पता लगाना संभव नहीं है पाइथागोरस का प्रमेय, जिसमें जेनरेट्रिक्स के लिए या वॉल्यूम और उसके क्षेत्र के लिए कोई विशिष्ट सूत्र नहीं है कुल मिलाकर।
सीधा शंकु
शंकु को स्ट्रेट के रूप में जाना जाता है जब इसकी धुरी शंकु की ऊंचाई के साथ मेल खाती है, अर्थात्, वह खंड जो शीर्ष को आधार परिधि के केंद्र से जोड़ता है, उस तल के लंबवत है जिसमें शंकु का आधार होता है।
समबाहु शंकु
एक सीधा शंकु समबाहु कहलाता है जब इसका व्यास इसके जेनरेट्रिक्स के बराबर होता है।
ध्यान दें कि AVB त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है, अर्थात, सभी पक्ष सर्वांगसम हैं, जिसका अर्थ है कि इसका जेनरेटर आधार के व्यास के अनुरूप है और फलस्वरूप, जेनरेटर की लंबाई आधार की त्रिज्या की लंबाई के दोगुने के बराबर है।
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शंकु सूत्र
ज्यामितीय ठोस का अध्ययन करते समय, उनमें से प्रत्येक के लिए दो महत्वपूर्ण गणनाएँ होती हैं, जो कि मात्रा की गणना और ज्यामितीय ठोस के कुल क्षेत्रफल की गणना है। value के मान की गणना करने के लिए शंकु मात्रा उनमें से प्रत्येक के लिए, विशिष्ट सूत्रों का उपयोग करना आवश्यक है। याद रखें कि ये सूत्र सीधे शंकु के लिए विशिष्ट हैं।
शंकु मात्रा सूत्र
आर → आधार त्रिज्या
वी→ वॉल्यूम
एच → ऊंचाई
कुल शंकु क्षेत्रफल सूत्र
विश्लेषण करते हुए कुल क्षेत्रफल की गणना करने के लिए योजना शंकु के, हम एक शंकु के आधार क्षेत्र के साथ पार्श्व क्षेत्र का योग करेंगे।
इसका आधार एक वृत्त है, इसलिए क्षेत्रफल की गणना निम्न द्वारा की जाती है:
ख = ·r².
इसका पार्श्व क्षेत्रफल एक वृत्ताकार त्रिज्यखंड है, जो इसके बराबर है:
क्या आप वहां मौजूद हैं = ·r·g
इसलिए, कुल क्षेत्रफल बराबर है:
तो = ·r² + ·r·g
सबूत में ·r डालते हुए, हम कुल क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:
तो = ·r (आर+जी)
आर→ त्रिज्या
जी → जेनरेट्रिक्स
शंकु ट्रंक
जब एक शंकु को आधार के समानांतर एक समतल द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो एक ज्यामितीय ठोस बनाना संभव होता है जिसे शंकु की सूंड के रूप में जाना जाता है। हे एक शंकु का तना हमेशा रहेगा हलकों के आकार में दो आधार, एक बड़ा और दूसरा छोटा।
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हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - (एनेम २०१३) एक रसोइया, बेकिंग केक में विशेषज्ञ, आकृति में दिखाए गए प्रारूप में एक सांचे का उपयोग करता है:
यह दो त्रि-आयामी ज्यामितीय आकृतियों के प्रतिनिधित्व की पहचान करता है। ये आंकड़े हैं:
ए) शंकु और एक सिलेंडर का एक छिन्नक।
बी) एक शंकु और एक सिलेंडर।
सी) एक पिरामिड ट्रंक और एक सिलेंडर।
डी) दो शंकु चड्डी।
ई) दो सिलेंडर।
संकल्प
वैकल्पिक डी. ध्यान दें कि दो ठोसों का एक बड़ा आधार और एक बड़ा गोलाकार आधार होता है, जो दोनों को छिन्न-शंक्वाकार बनाता है।
प्रश्न 2 - सामग्री के रूप में एल्यूमीनियम का उपयोग करते हुए, एक शंकु के आकार में एक जलाशय बनाया जाएगा। जलाशय की मोटाई की परवाह किए बिना और यह जानते हुए कि यह 1.5 मीटर त्रिज्या और 2 मीटर ऊंचा एक सीधा शंकु है, इस जलाशय को बनाने के लिए कितनी मात्रा में एल्यूमीनियम की आवश्यकता है? (use = 3 का प्रयोग करें)
ए) 10 वर्ग मीटर
बी) 14 वर्ग मीटर
सी) 16 वर्ग मीटर
डी) 18 वर्ग मीटर
ई) 20 वर्ग मीटर
संकल्प
वैकल्पिक डी.
हम शंकु के कुल क्षेत्रफल की गणना करना चाहते हैं, जो इसके द्वारा दिया गया है:
तो = ·r (आर+जी)
ध्यान दें कि हमारे पास g का मान नहीं है, इसलिए पहले जेनरेटर g के मान की गणना करते हैं।
जी² = आर² + एच²
जी² = 1.5² + 2²
जी² = 2.25+4+
जी² = 6.25
जी = √6.25
जी = 2.5 एम
तो कुल क्षेत्रफल होगा:
तो = ·r (आर+जी)
तो = 3·1,5(1,5+2,5)
तो = 4,5·4
तो = 18 वर्ग मीटर
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक