परिधि का सामान्य समीकरण

वृत्त एक सपाट आकृति है जिसे अध्ययनों का उपयोग करके कार्तीय तल में दर्शाया जा सकता है विश्लेषणात्मक ज्यामिति से संबंधित, बीजगणित और के बीच संबंध स्थापित करने के लिए जिम्मेदार ज्यामिति। एक समीकरण का उपयोग करके वृत्त को निर्देशांक अक्ष पर निरूपित किया जा सकता है। इनमें से एक गणितीय व्यंजक को वृत्त का प्रसामान्य समीकरण कहते हैं, जिसका अध्ययन हम आगे करेंगे।

परिधि का सामान्य समीकरण घटे हुए समीकरण को विकसित करने का परिणाम है। देखो:

(एक्स - ए) + (वाई - बी) = आर²

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = R²

x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² - R² = 0

x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - R² = 0
आइए केंद्र C (3, 9) और त्रिज्या 5 के बराबर वाले वृत्त के सामान्य समीकरण को निर्धारित करें।

(एक्स - ए) + (वाई - बी) = आर²
(एक्स - 3)² + (वाई - 9)² = 5²
x² – 6x + 9 + y² – 18y + 81 – 25 = 0
x² + y² - 6x - 18y + 65 = 0

हम व्यंजक x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0 का भी उपयोग कर सकते हैं, विकास का निरीक्षण करें:

x² + y² - 2*3*x - 2*9*y + 3² + 9² - 5² = 0
x² + y² - 6x - 18y + 9 + 81 - 25 = 0
x² + y² - 6x - 18y + 65 = 0

वृत्त के सामान्य समीकरण से हम केंद्र और त्रिज्या के निर्देशांक स्थापित कर सकते हैं। आइए समीकरणों x² + y² + 4x – 2y – 4 = 0 और x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0 के बीच तुलना करें। गणनाओं पर ध्यान दें:

x² + y² + 4x - 2y - 4 = 0
x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - R² = 0

- 2ए = 4 → ए = - 2

- 2 = - 2बी → बी = 1

ए² + बी² - आर² = - 4
(-2)² + 12 - आर² = - 4
4 + 1 - आर² = - 4
- आर² = - 4 - 4 - 1
- आर² = - 9
आर² = 9
R² = √9
आर = 3

इसलिए, वृत्त x² + y² + 4x - 2y - 4 = 0 के सामान्य समीकरण का केंद्र C (-2, 1) और त्रिज्या R = 3 होगा।

मार्क नूह द्वारा
गणित में स्नातक
ब्राजील स्कूल टीम

विश्लेषणात्मक ज्यामिति - गणित - ब्राजील स्कूल

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-normal-circunferencia.htm