ज्या, कोसाइन और स्पर्शरेखा क्या नाम दिए गए हैं त्रिकोणमितीय अनुपात. दूरी की गणना से जुड़ी अधिकांश समस्याओं का समाधान त्रिकोणमिति. और उसके लिए, इसके मूल सिद्धांतों को समझना बहुत जरूरी है, जिसकी शुरुआत से होती है सही त्रिकोण.
त्रिकोणमितीय अनुपात भी बहुत महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे दोनों पक्षों के मापों को संबंधित करते हैं त्रिकोण एक तीव्र कोण के साथ, इस संबंध को a. के साथ जोड़कर वास्तविक संख्या.
और देखें: त्रिकोणमितीय चक्र के चतुर्थांश की पहचान करना
समकोण त्रिभुज की विशेषताएं
समकोण त्रिभुज a. द्वारा बनता है कोण 90° (रेखीय कोण)। अन्य कोण 90º से छोटे होते हैं, अर्थात वे न्यून होते हैं, और, इसके अलावा, हम जानते हैं कि सबसे बड़ी भुजाएँ हमेशा सबसे बड़े कोणों के विपरीत होती हैं। समकोण त्रिभुज में, सबसे बड़ी भुजा को कहा जाता है कर्ण और समकोण के "सामने" है, अन्य भुजाएँ कहलाती हैं पेकेरीज़
ऊपर दिए गए त्रिभुज में, हमारे पास यह है कि c और b को मापने वाली भुजाएँ पैर हैं, और जो भुजा a को मापती है वह कर्ण है। हर समकोण त्रिभुज में, संबंध को इस प्रकार जाना जाता था पाइथागोरस प्रमेय यह सही है।
2 = बी2 + सी2
अब से कॉलर वाले पेकेरी को भी विशेष नाम दिए जाएंगे। पैरों के नामकरण संदर्भ कोण पर निर्भर करेगा। ऊपर की छवि में नीले रंग में कोण को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास वह पक्ष है जो b को मापता है विपरीत पैर, और वह भुजा जो कोण के बगल में है, अर्थात जो मापता है c है आसन्न पैर.
ज्या
किसी कोण की ज्या के सूत्र को परिभाषित करने से पहले, आइए ज्या के विचार को समझते हैं। एक रैंप की कल्पना करें, जिस पर हम निर्धारित कर सकते हैं कारण ऊंचाई और पाठ्यक्रम के बीच, है ना? इस अनुपात को कोण α की ज्या कहा जाएगा।
इस प्रकार,
पाप α = ऊंचाई
मार्ग
कोज्या
साइन के विचार के अनुरूप, हमारे पास कोसाइन की भावना है, हालांकि, एक रैंप में, कोसाइन जमीन से दूरी और रैंप के साथ पथ के बीच का अनुपात है।
इस प्रकार:
क्योंकि α = निष्कासन
मार्ग
स्पर्शरेखा
साइन और कोसाइन के विचारों के समान, स्पर्शरेखा एक रैंप की ऊंचाई और दूरी के बीच का अनुपात है।
इस प्रकार:
टीजी α = ऊंचाई
निष्कासन
स्पर्शरेखा हमें देती है चढ़ाई दर.
यह भी पढ़ें: किसी भी त्रिभुज में त्रिकोणमिति
साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के बीच संबंध Relationship
सामान्य तौर पर, हम पिछले विचारों का उपयोग करके किसी भी समकोण त्रिभुज में साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा को परिभाषित कर सकते हैं। निचे देखो:
सबसे पहले कोण α एक संदर्भ के रूप में, हमारे पास है:
पाप α = विपरीत दिशा = सी
करने के लिए कर्ण
क्योंकि α = आसन्न कैटेट = ख
करने के लिए कर्ण
टीजी α = विपरीत दिशा = सी
आसन्न कैटेट बी
अब कोण β को संदर्भ के रूप में लेते हुए, हमारे पास है:
पाप β = विपरीत दिशा = ख
करने के लिए कर्ण
क्योंकि β = आसन्न कैटेट = सी
करने के लिए कर्ण
टीजी β = विपरीत दिशा = ख
आसन्न कैथेटस सी
त्रिकोणमितीय सारणी
तीन कोण मान हैं जिन्हें हमें अवश्य जानना चाहिए। क्या वो:
अन्य मान अभ्यास के कथनों में दिए गए हैं या निम्न तालिका में जाँचे जा सकते हैं, लेकिन चिंता न करें, उन्हें याद रखना आवश्यक नहीं है (पिछली तालिका में दिए गए को छोड़कर)।
कोण (डिग्री) |
ज्या |
कोज्या |
स्पर्शरेखा |
कोण (डिग्री) |
ज्या |
कोज्या |
स्पर्शरेखा |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
यह भी पता है: सेकेंट, कोसेकेंट और कोटैंजेंट
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - निम्नलिखित त्रिभुज में x और y का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान:
त्रिभुज में देखिए कि दिया गया कोण 30° था। अभी भी त्रिभुज को देखते हुए, हमारे पास वह भुजा है जो मापती है एक्स यह है विपरीत पैर 30° के कोण पर, और भुजा जो मापी जाती है आप यह है आसन्न पैर 30° के कोण पर। इस प्रकार, हमें एक त्रिकोणमितीय अनुपात की तलाश करनी चाहिए जो कि हम जो खोज रहे हैं उससे संबंधित है (कर्ण)। जल्द ही:
पाप 30° = विपरीत दिशा
कर्ण
कॉस 30° = आसन्न कैटेट
कर्ण
x का मान निर्धारित किया:
पाप 30° = विपरीत दिशा
कर्ण
पाप 30° = एक्स
2
तालिका को देखते हुए, हमें यह करना होगा:
पाप 30° = 1
2
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:
1 = एक्स
2 2
एक्स = 1
इसी प्रकार, हम विचार करेंगे
इस प्रकार:
कॉस 30° = √3
2
कॉस 30° = आसन्न कैटेट
कर्ण
कॉस 30° = यू
2
√3 = यू
2 2
वाई = √3
प्रश्न 2 - (PUC-SP) निम्नलिखित आकृति में x का मान क्या है?
समाधान:
बड़े त्रिभुज को देखने पर ध्यान दें कि y 30° कोण के विपरीत है और वह 40 कर्ण है, अर्थात हम त्रिकोणमितीय ज्या अनुपात का उपयोग कर सकते हैं।
पाप 30° = यू
40
1 = यू
2 40
2 वाई = 40
वाई = 20
अब छोटे त्रिभुज को देखते हुए देखें कि हमारे पास विपरीत भुजा का मान है और हम x का मान ढूंढते हैं, जो कि आसन्न भुजा है। इन दोनों पैरों को शामिल करने वाला त्रिकोणमितीय संबंध स्पर्शरेखा है। इस प्रकार:
टीजी 60° = 20
एक्स
√3= 20
एक्स
√3 एक्स = 20
एक्स = 20 · √3
√3 √3
एक्स = 20√3
3
रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm
