एक समीकरण एक गणितीय वाक्य है जिसमें समानता है और कम से कम एक अज्ञात है, यानी, जब हमारे पास ए. की भागीदारी होती है बीजीय व्यंजक और एक समानता. समीकरणों के अध्ययन के लिए पूर्व ज्ञान की आवश्यकता होती है, जैसे कि. का अध्ययन संख्यात्मक भाव. एक समीकरण का उद्देश्य है अज्ञात मूल्य का पता लगाएं जो समानता को एक पहचान, यानी सच्ची समानता में बदल देता है।
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समीकरण अध्ययन के लिए बुनियादी अवधारणाएँ
समीकरण एक गणितीय वाक्य है जिसमें a. होता है अनजान, कम से कम, और एक समानता, और हम इसे अज्ञात की संख्या के आधार पर रैंक कर सकते हैं। कुछ उदाहरण देखें:
ए) 5t - 9 = 16
समीकरण में एक अज्ञात है, जिसे अक्षर द्वारा दर्शाया गया है तो.
बी) 5x + 6y = 1
समीकरण में दो अज्ञात हैं, जो अक्षरों द्वारा दर्शाए गए हैं एक्स तथा वाई
ग) टी4 - 8z = x
समीकरण में तीन अज्ञात हैं, जो अक्षरों द्वारा दर्शाए गए हैं ठीक है,जेड तथा एक्स.
समीकरण जो भी हो, हमें आपका ध्यान रखना चाहिए ब्रह्मांड सेट,सभी संभावित मूल्यों से बना है जो हम अज्ञात को असाइन कर सकते हैं, यह सेट अक्षर द्वारा दर्शाया गया है यू.
उदाहरण 1
समीकरण x + 1 = 0 और इसके संभावित हल x = -1 पर विचार करें। अब विचार करें कि समीकरण का ब्रह्मांड समुच्चय है प्राकृतिक.
ध्यान दें कि माना गया समाधान ब्रह्मांड सेट से संबंधित नहीं है, क्योंकि इसके तत्व सभी संभावित मान हैं जो अज्ञात ले सकते हैं, इसलिए x = -1 समीकरण का समाधान नहीं है।
बेशक, अज्ञात की संख्या जितनी अधिक होगी, आपके समाधान को निर्धारित करना उतना ही कठिन होगा। समाधान या स्रोत एक समीकरण उन सभी मानों का समुच्चय है, जो अज्ञात को सौंपे जाने पर, समानता को सत्य बनाते हैं।
उदाहरण 2
अज्ञात 5x - 9 = 16 वाले समीकरण पर विचार करें, जाँच करें कि x = 5 समीकरण का हल या मूल है।
ताकि यह कहा जा सके कि एक्स = 5 समीकरण का हल है, हमें व्यंजक में उस मान को प्रतिस्थापित करना होगा, यदि हमें एक सच्ची समानता मिलती है, तो संख्या परीक्षणित हल होगी।
5एक्स – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
देखें कि जो समानता मिली है वह सत्य है, इसलिए हमारे पास एक पहचान है और संख्या 5 समाधान है। तो हम कह सकते हैं कि समाधान सेट द्वारा दिया गया है:
एस = {5}
उदाहरण 3
समीकरण t. पर विचार करें2 = 4 और जाँच कीजिए कि क्या t = 2 या t = -2 समीकरण के हल हैं।
समान रूप से, हमें t के मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करना चाहिए, हालांकि, ध्यान दें कि हमारे पास अज्ञात के लिए दो मान हैं और इसलिए हमें दो चरणों में सत्यापन करना चाहिए।
चरण 1 - टी = 2. के लिए
तो2= 4
22 = 4
4 = 4
चरण दो - टी = -2. के लिए
तो2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
टी = 2 और टी = - 2 के लिए देखें, हमें एक पहचान मिलती है, इसलिए ये दो मान समीकरण के समाधान हैं। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि समाधान सेट है:
एस = {2, -2}
समीकरण प्रकार
हम एक समीकरण को उस स्थिति के अनुसार भी वर्गीकृत कर सकते हैं जिस पर अज्ञात का कब्जा है। मुख्य प्रकार देखें:
बहुपद समीकरण
पर बहुपद समीकरण शून्य के बराबर बहुपद होने की विशेषता है। कुछ उदाहरण देखें:
द) 6तो3+ 5तो2–5टी = 0
संख्या6, 5 तथा –5 समीकरण के गुणांक हैं।
बी) 9एक्स – 9= 0
संख्या 9 तथा – 9 समीकरण के गुणांक हैं।
ग) आप2– आप – 1 = 0
संख्या 1, – 1 तथा – 1 समीकरण के गुणांक हैं।
समीकरण डिग्री
बहुपद समीकरणों को उनकी डिग्री के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है। साथ ही साथ बहुआयामी पद, एक बहुपद समीकरण की घात द्वारा दी गई है उच्चतम शक्ति जिसमें गैर-शून्य गुणांक है.
पिछले उदाहरणों ए, बी और सी से, हमारे पास समीकरणों की डिग्री हैं:
ए) 6तो3 + 5t2 -5t = 0 → का बहुपद समीकरण थर्ड डिग्री
बी) 9एक्स - 9 = 0 → Poly का बहुपद समीकरण प्रथम श्रेणी
सी) आप2 - y - 1 = 0 → का बहुपद समीकरण उच्च विद्यालय
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तर्कसंगत समीकरण
परिमेय समीकरणों को उनके होने की विशेषता है a. के हर में अज्ञात अंश. कुछ उदाहरण देखें:
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अपरिमेय समीकरण
पर अपरिमेय समीकरण उनके होने की विशेषता है एक nवें रूट के भीतर अज्ञात, वह है, एक रेडिकल के अंदर जिसका सूचकांक n है। कुछ उदाहरण देखें:
घातीय समीकरण equation
पर घातीय समीकरण equation है घातांक में स्थित अज्ञात का शक्ति. कुछ उदाहरण देखें:
लघुगणक समीकरण
पर लघुगणक समीकरण होने की विशेषता है के किसी भाग में एक या अधिक अज्ञात लोगारित्म. हम देखेंगे कि, लघुगणक की परिभाषा को लागू करते समय, समीकरण पिछले कुछ मामलों में गिरता है। कुछ उदाहरण देखें:
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एक समीकरण को कैसे हल करें?
एक समीकरण को हल करने के लिए, हमें का अध्ययन करना चाहिए प्रत्येक प्रकार में उपयोग की जाने वाली विधियाँ, अर्थात्, प्रत्येक प्रकार के समीकरण के लिए, संभावित जड़ों को निर्धारित करने के लिए एक अलग विधि है। हालाँकि ये सभी तरीके हैं तुल्यता सिद्धांत से व्युत्पन्न, इसके साथ मुख्य प्रकार के समीकरणों को हल करना संभव है।
तुल्यता सिद्धांत
तुल्यता का दूसरा सिद्धांत, जब तक हम समानता के दूसरे पक्ष पर ऐसा ही करते हैं, तब तक हम समानता के एक तरफ स्वतंत्र रूप से काम कर सकते हैं। समझ में सुधार के लिए, हम इन पक्षों का नाम देंगे।
इसलिए, तुल्यता सिद्धांत कहता है कि यह संभव है पहले अंग पर काम करें स्वतंत्र रूप से जब तक दूसरे सदस्य पर भी यही ऑपरेशन किया जाता है.
तुल्यता सिद्धांत को सत्यापित करने के लिए, निम्नलिखित समानता पर विचार करें:
5 = 5
आओ चलें जोड़ने के लिए दोनों पक्षों पर संख्या 7, और ध्यान दें कि समानता अभी भी सत्य होगी:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
आओ चलें घटाना १० समानता के दोनों पक्षों पर, फिर से ध्यान दें कि समानता अभी भी सत्य होगी:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
देखें कि हम कर सकते हैं गुणा या शेयर और a. तक बढ़ाओ शक्ति या यहां तक कि एक. निकालें स्रोत, जब तक यह पहले और दूसरे सदस्य पर किया जाता है, समानता हमेशा सही रहेगी।
एक समीकरण को हल करने के लिए, हमें इस सिद्धांत का उपयोग उल्लिखित संक्रियाओं के ज्ञान के साथ करना चाहिए। समीकरणों के विकास को सुविधाजनक बनाने के लिए, आइए पहले सदस्य पर किए गए ऑपरेशन को छोड़ दें, यह कहने के बराबर है कि हम दूसरे सदस्य को नंबर पास कर रहे हैं, विपरीत के लिए चिह्न का आदान-प्रदान कर रहे हैं।
एक समीकरण का हल ज्ञात करने का विचार हमेशा होता है तुल्यता सिद्धांत का उपयोग करके अज्ञात को अलग करें, देखो:
उदाहरण 4
तुल्यता सिद्धांत का उपयोग करते हुए, समीकरण 2x - 4 = 8 का समाधान सेट निर्धारित करें, यह जानते हुए कि ब्रह्मांड सेट किसके द्वारा दिया गया है: U = ।
2x - 4 = 8
पहली डिग्री के बहुपद समीकरण को हल करने के लिए, हमें पहले सदस्य में अज्ञात को अलग करना चाहिए। इसके लिए हम पहले सदस्य से संख्या -4 लेंगे, दोनों पक्षों में 4 जोड़कर, क्योंकि -4 + 4 = 0।
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
ध्यान दें कि इस प्रक्रिया को करना विपरीत चिह्न के साथ संख्या 4 को पार करने के बराबर है। तो, अज्ञात x को अलग करने के लिए, हम दूसरे सदस्य को संख्या 2 देते हैं, क्योंकि यह x को गुणा कर रहा है। (याद रखें: गुणन का विलोम संक्रिया भाग है)। यह दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने के समान होगा।
इसलिए, समाधान सेट द्वारा दिया गया है:
एस = {6}
उदाहरण 5
समीकरण को हल करें 2एक्स+5 = 128 यह जानते हुए कि ब्रह्मांड समुच्चय U = द्वारा दिया गया है।
घातांकीय समीकरण को हल करने के लिए, आइए पहले निम्नलिखित का उपयोग करें क्षमता संपत्ति:
एम + एन = दम · एनहीं न
हम इस तथ्य का भी उपयोग करेंगे कि 22 = 4 और 25 = 32.
2एक्स+5 = 128
2एक्स · 25 = 128
2एक्स · 32 = 128
ध्यान दें कि दोनों पक्षों को 32 से विभाजित करना संभव है, अर्थात संख्या 32 को दूसरे सदस्य को विभाजित करके पास करें।
तो हमें करना होगा:
2एक्स = 4
2एक्स = 22
x का एकमात्र मान जो समानता को संतुष्ट करता है वह संख्या 2 है, इसलिए x = 2 और समाधान सेट द्वारा दिया गया है:
एस = {2}
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - समुच्चय ब्रह्मांड U = पर विचार करें और निम्नलिखित अपरिमेय समीकरण का हल ज्ञात करें:
संकल्प
इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें पहले सदस्य की जड़ को खत्म करने पर ध्यान देना चाहिए। ध्यान दें, इसके लिए पहले सदस्य को रूट के समान इंडेक्स, यानी क्यूब तक ऊपर उठाना आवश्यक है। समानता के सिद्धांत से हमें समानता के दूसरे सदस्य को भी उठाना चाहिए।
ध्यान दें कि अब हमें दूसरी डिग्री के बहुपद समीकरण को हल करना चाहिए। अज्ञात x को अलग करने के लिए, संख्या 11 को दूसरे सदस्य (समानता के दोनों ओर 11 घटाएं) को पास करें।
एक्स2 = 27 – 11
एक्स2 = 16
अब x का मान निर्धारित करने के लिए देखें कि दो मान हैं जो समानता को संतुष्ट करते हैं, x' = 4 या x'' = -4, एक बार:
42 = 16
तथा
(–4)2 = 16
हालाँकि, प्रश्न के कथन में ध्यान दें कि दिया गया ब्रह्मांड समुच्चय प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, और संख्या -4 इससे संबंधित नहीं है, इस प्रकार, समाधान सेट द्वारा दिया गया है:
एस = {4}
प्रश्न 2 - बहुपद समीकरण पर विचार करें x2 + 1 = 0 यह जानते हुए कि ब्रह्मांड सेट यू = द्वारा दिया गया है।
संकल्प
तुल्यता सिद्धांत के लिए, दोनों सदस्यों में से 1 घटाएं।
एक्स2 + 1 – 1= 0 – 1
एक्स2 = – 1
ध्यान दें कि समानता का कोई हल नहीं है, क्योंकि ब्रह्मांड समुच्चय वास्तविक संख्याएँ हैं, अर्थात सभी अज्ञात मान सकते हैं कि मान वास्तविक हैं, और कोई वास्तविक संख्या नहीं है, जब चुकता, है नकारात्मक।
12 = 1
तथा
(–1)2 = 1
इसलिए, वास्तविक समुच्चय में समीकरण का कोई हल नहीं है, और इस प्रकार हम कह सकते हैं कि समाधान सेट खाली है।
एस = {}
रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक
