परिधि द्वारा बनाई गई एक सपाट ज्यामितीय आकृति है समदूरस्थ बिंदुओं का मिलनअर्थात् उनकी एक निश्चित बिंदु से समान दूरी होती है जिसे केंद्र कहते हैं। परिधि का अध्ययन भी मौजूद है विश्लेषणात्मक ज्यामिति, जिसमें इसका प्रतिनिधित्व करने वाले समीकरण को निकालना संभव है।
हालांकि वृत्त और परिधि कुछ तत्वों के साथ फ्लैट ज्यामितीय आंकड़े आम हैं, जो आमतौर पर संदेह पैदा करते हैं, ये आंकड़े महत्वपूर्ण अंतर पेश करते हैं, खासकर आयाम के संबंध में।
यह भी पढ़ें: दो बिंदुओं के बीच की दूरी - विश्लेषणात्मक ज्यामिति की एक महत्वपूर्ण अवधारणा
सर्कल के तत्व
परिधि पर ध्यान दें:
बिंदु सी यह कहा जाता है सर्कल का केंद्र center, और ध्यान दें कि बिंदु A और B इससे संबंधित हैं। केंद्र से गुजरने वाले वृत्त के सिरों को मिलाने वाला खंड कहलाता है व्यास। पिछली परिधि पर, तो हमें करना होगा व्यास एबी खंड है.
तक व्यास को आधा में विभाजित करें, आइए परिधि की त्रिज्या प्राप्त करें, अर्थात् एक वृत्त की त्रिज्या (r) यह वह खंड है जो केंद्र और अंत को जोड़ता है। इस मामले में, त्रिज्या सीबी खंड है। हम इन दो तत्वों के बीच गणितीय संबंध स्थापित कर सकते हैं, क्योंकि व्यास त्रिज्या से दोगुना है।
डी = 2 · आर
उदाहरण
एक वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका व्यास 40 सेमी है।
हम जानते हैं कि व्यास त्रिज्या से दोगुना है, जैसे:
परिधि लंबाई
एक वृत्त पर विचार करें जिसकी त्रिज्या r मापी गई है। हे लंबाई या परिधि परिधि के उत्पाद द्वारा दिया गया है सीनिरंतर पीआई (π) त्रिज्या के दोगुने से।
जब हम किसी वृत्त की लंबाई या परिधि की गणना करते हैं, तो हम रेखा के आकार का निर्धारण कर रहे होते हैं पिछली ड्राइंग में हरा, और ऐसा करने के लिए, बस त्रिज्या मान को उस सूत्र में बदलें जो आगे बढ़ता है आंकड़ा।
उदाहरण
त्रिज्या 5 सेमी की परिधि की लंबाई निर्धारित करें।
सर्कल की त्रिज्या 5 सेमी के बराबर होती है, इसलिए सर्कल की लंबाई निर्धारित करने के लिए, हमें इस मान को सूत्र में बदलना होगा।
सी = 2πr
सी = 2(3.14)(5)
सी = 6.24 · 5
सी = 31.2 सेमी
यह भी देखें: उत्कीर्ण बहुभुजों का निर्माण
परिधि क्षेत्र
त्रिज्या r के एक वृत्त पर विचार करें। अपने क्षेत्र की गणना करने के लिए, हमें चाहिए त्रिज्या मान के वर्ग को. से गुणा करें.
जब हम वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करते हैं, तो हम सतह के माप का निर्धारण कर रहे होते हैं, अर्थात वृत्त के अंदर का पूरा क्षेत्र।
- उदाहरण
एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 4 सेमी के बराबर है।
हमारे पास यह है कि परिधि की त्रिज्या 4 सेमी के बराबर है, इसलिए हम इस माप को क्षेत्रफल के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। देखो:
ए = · आर2
ए = 3.14 · (4)2
ए = 3.14 · 16
एच = 50.24 सेमी2
परिधि कम समीकरण
हम जानते हैं कि वृत्त का निर्माण किसके द्वारा किया जा सकता है समान दूरी वाले बिंदुओं का संग्रह एक निश्चित बिंदु से जिसे मूल या केंद्र कहा जाता है। तो, में एक निश्चित बिंदु पर विचार करें कार्तीय विमान ओ (ए, बी)। बिंदुओं का सेट - P(x, y) द्वारा दर्शाया गया - जो कि इस निश्चित बिंदु से समान दूरी r हैं, त्रिज्या r का एक वृत्त बनाएंगे।
ध्यान दें कि P(x, y) के रूप के सभी बिंदु बिंदु O(a, b) से समान दूरी पर हैं, अर्थात, बिंदु O और P के बीच की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, इस प्रकार:
पर घटा हुआ समीकरण, ध्यान दें कि संख्या तथा ख वृत्त के केंद्र के निर्देशांक हैं और वह आर त्रिज्या का माप है।
- उदाहरण
केंद्र के निर्देशांक और वृत्त की त्रिज्या के माप का निर्धारण करें जिसमें एक समीकरण है:
ए) (एक्स - 2)2 + (वाई - 6)2 = 36
इस समीकरण की कम समीकरण से तुलना करने पर, हमारे पास है:
(एक्स - )2 + (वाई - ख)2 = आर2
(एक्स - 2)2 + (वाई -6)2 = 36
देखिए कि a = 2, b = 6 और r2 = 36. हल करने के लिए एकमात्र समीकरण है:
आर2 = 36
आर = 6
इसलिए, केंद्र का निर्देशांक है: O(2, 6) और त्रिज्या की लंबाई 6 है।
बी) (एक्स - 5)2 + (वाई + 3)2 = 121
इसी तरह, हमारे पास है:
(एक्स - )2 + (वाई - ख)2 = आर2
(एक्स - 5)2 + (वाई + 3)2 = 121
ए = 5
- बी = 3
बी = -3
जबकि त्रिज्या मान द्वारा दिया जाता है:
आर2 = 121
आर = 11
सी) एक्स2 + y2 = 1
(एक्स - )2 + (वाई - ख)2 = आर2
एक्स2 + y2 = 1
ध्यान दें कि x2 = (एक्स + 0)2 और तुम2 = (वाई + 0)2 . तो हमें करना होगा:
(एक्स - )2 + (वाई - ख)2 = आर2
(एक्स + 0)2 + (वाई + 0)2 = 1
इसलिए, केंद्र का निर्देशांक O(0, 0) है और त्रिज्या 1 के बराबर है।
साथ ही पहुंचें: वृत्त का केंद्र कैसे ज्ञात करें?
वृत्त का सामान्य समीकरण
सर्कल के सामान्य समीकरण को निर्धारित करने के लिए, हमें चाहिए कम समीकरण विकसित करें develop उसके। इस प्रकार, एक वृत्त पर विचार करें जिसका निर्देशांक O(a, b) और त्रिज्या r पर केंद्र है।
प्रारंभ में, हम का उपयोग करके वर्ग शब्द विकसित करेंगे उल्लेखनीय उत्पाद; फिर हम सभी नंबरों को पहले सदस्य को पास करेंगे; और, अंत में, हम समान शाब्दिक गुणांक वाले शब्दों को जोड़ेंगे, अर्थात्, समान अक्षरों वाले। देखो:
उदाहरण
केंद्र के निर्देशांक और वृत्त के माध्य त्रिज्या का निर्धारण करें जिसमें एक समीकरण है:
ए) एक्स2 + y2 - 4x - 6y + 4 + 9 - 49 = 0
इस समीकरण वाले वृत्त की त्रिज्या और निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, हमें इसकी तुलना सामान्य समीकरण से करनी चाहिए। देखो:
एक्स2 + y2 – 2एक्स - 2 बीवाई + 2 + ख2 –आर2 = 0
एक्स2 + y2 – 4एक्स - 6वाई + 4 + 9 – 49 = 0
हरे रंग की तुलना से, हमें यह करना होगा:
दूसरा = 4
ए = 2
या
2 = 4
ए = 2
लाल रंग की तुलना से, हमारे पास वह है:
2बी = 6
बी = 3
या
ख2 = 9
बी = 3
इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि केंद्र का निर्देशांक O(2, 3) है। अब, r के मान की तुलना करने पर, हमारे पास है:
आर2 = 49
आर = 7
इसलिए, वृत्त की त्रिज्या की लंबाई 7 के बराबर है।
बी) एक्स2 + y2 - 10x + 14y + 10 = 0
इसी तरह, आइए समीकरणों की तुलना करें:
एक्स2 + y2 – 2एक्स - 2 बीवाई + 2 + बी2 - र2 = 0
एक्स2 + y2 –10एक्स + 14वाई + 10 = 0
दूसरा = 10
ए = 5
b का मान ज्ञात करना:
-2 बी = 14
बी = - 7
अब ध्यान दें कि:
2 + बी2 - र2 = 10
चूँकि हम a और b के मान जानते हैं, इसलिए हम उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। देखो:
2 + बी2 - र2 = 10
52 + (–7)2 - र2 = 10
25 + 49 - आर2 = 10
74 - आर2 = 10
- र2 = 10 – 74
(–1) - र2 = –64 (–1)
आर2 = 64
आर = 8
इसलिए, केंद्र के निर्देशांक O (5, -7) हैं और त्रिज्या की लंबाई 8 के बराबर है।
परिधि और वृत्त के बीच अंतर
वृत्त और वृत्त के बीच का अंतर संबंधित है आयामों की संख्या प्रत्येक तत्व का। जबकि वृत्त का एक आयाम होता है, वृत्त के दो आयाम होते हैं।
एक वृत्त तल में एक ऐसा क्षेत्र होता है जो मूल बिंदु नामक एक निश्चित बिंदु से सभी समान दूरी पर स्थित बिंदुओं से बनता है। सर्कल सर्कल के भीतर हर क्षेत्र से बना है। छवियों में अंतर देखें:
यह भी देखें:परिधि की लंबाई और वृत्त क्षेत्र
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - एक परिधि का परिमाप 628 सेमी के बराबर है। इस वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए (π = 3.14) अपनाइए।
संकल्प
चूँकि परिमाप 628 सेमी के बराबर है, हम इस मान को परिधि लंबाई व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
प्रश्न 2 - दो वृत्त संकेंद्रित होते हैं यदि उनका केंद्र एक ही हो। यह जानकर, रिक्त आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
संकल्प
ध्यान दें कि क्षेत्र के क्षेत्र को सफेद रंग में निर्धारित करने के लिए, हमें बड़े वृत्त का क्षेत्रफल और फिर छोटे वृत्त का क्षेत्रफल नीले रंग में निर्धारित करना होगा। यह भी ध्यान दें कि यदि हम नीले वृत्त को हटाते हैं, तो केवल वही क्षेत्र बचा है जो हम चाहते हैं, इसलिए हमें उन क्षेत्रों को घटाना होगा। देखो:
बड़ी = आर2
बड़ी = (3,14) · (9)2
बड़ी = (3,14) · 81
बड़ी = २५४.३४ सेमी2
आइए अब नीले वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करें:
छोटे = आर2
छोटे = (3,14) · (5)2
छोटे = (3,14) · 25
छोटे = 78.5 सेमी2
इस प्रकार, रिक्त क्षेत्र बड़े क्षेत्र और छोटे क्षेत्र के बीच के अंतर से दिया जाता है।
सफेद = 254,34 – 78,5
सफेद = 175,84 से। मी2
रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/circunferencia.htm