मतगणना का मूल सिद्धांत

हे गिनती का मूल सिद्धांत संयोजक विश्लेषण में सिखाई जाने वाली मुख्य अवधारणा है। इसी से इस क्षेत्र की अन्य अवधारणाओं का विकास हुआ और भाज्य, संयोजन, व्यवस्था सूत्र, परिवर्तन. गिनती से संबंधित स्थितियों को समझने के लिए इस सिद्धांत को समझना आवश्यक है।

यह सिद्धांत कहता है कि यदि मुझे एक से अधिक निर्णय लेने की आवश्यकता है और उनमें से प्रत्येक को x, y, z तरीकों से किया जा सकता है, तो यह जानने के लिए कि ये निर्णय एक साथ कितने तरीकों से लिए जा सकते हैं, बस इनके उत्पाद की गणना करें संभावनाएं।

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हम संभावनाओं को मापने के लिए गिनती के मूल सिद्धांत का उपयोग करते हैं।

मतगणना का मूल सिद्धांत क्या है?

मतगणना का मूल सिद्धांत है a निर्णयों को कितने तरीकों से जोड़ा जा सकता है, इसकी गणना करने की तकनीक. क्या से निर्णय लिया जा सकता है नहीं न तरीके और एक और निर्णय किया जा सकता है म तरीके, इन निर्णयों को एक साथ करने के तरीकों की संख्या की गणना के उत्पाद द्वारा की जाती है एन · एम.

गिनती के मूल सिद्धांत का उपयोग किए बिना सभी संभावित संयोजनों का विश्लेषण करना काफी श्रमसाध्य हो सकता है, जो सूत्र को बहुत कुशल बनाता है।

उदाहरण

एक रेस्टोरेंट में मशहूर डिश परोसी जाती है। सभी व्यंजनों में चावल होता है, और ग्राहक मांस के 3 विकल्पों का संयोजन चुन सकता है (गोमांस, चिकन और शाकाहारी), 2 प्रकार की फलियाँ (शोरबा या ट्रोपीरो) और 2 प्रकार के पेय (रस या सोडा)। ग्राहक कितने अलग-अलग तरीकों से ऑर्डर दे सकता है?

ध्यान दें कि 12 विकल्प हैं, लेकिन सरल प्रदर्शन करके इस संख्या तक पहुंचना संभव था गुणा गणना के मूल सिद्धांत के माध्यम से संभावनाओं का, इसलिए व्यंजनों के संभावित संयोजनों की संख्या की गणना निम्न द्वारा की जा सकती है:

2 · 3 · 2 = 12.

ध्यान दें कि जब मेरी रुचि केवल कुल संभावनाओं को जानने में होती है, तो गुणा करना बहुत तेज होता है विश्लेषण करने के लिए किसी भी योजना के निर्माण की तुलना में, जो अधिक से अधिक संभावनाएं होने पर काफी श्रमसाध्य हो सकती है।

गिनती के मूल सिद्धांत का उपयोग कब करें?

मतगणना के मूल सिद्धांत के कई अनुप्रयोग हैं। इसे लागू किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, के विभिन्न निर्णयों में कम्प्यूटिंग. एक उदाहरण हैं पासवर्डों जिसके लिए कम से कम एक प्रतीक के उपयोग की आवश्यकता होती है, जो संभावित संयोजनों की संख्या को बहुत बड़ा बनाता है, जिससे सिस्टम अधिक सुरक्षित हो जाता है।

एक अन्य आवेदन के अध्ययन में है अंतरउनकी गणना करने के लिए, हमें संभावित मामलों की संख्या और अनुकूल मामलों की संख्या जानने की जरूरत है। संभावित और अनुकूल मामलों की इस संख्या की गणना मतगणना के मूल सिद्धांत के माध्यम से की जा सकती है। यह सिद्धांत क्रमपरिवर्तन सूत्र भी उत्पन्न करता है, संयोजन और व्यवस्था।

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हल किए गए अभ्यास

1) (एनेम) एक स्कूल के प्रधानाचार्य ने 280 तृतीय वर्ष के छात्रों को एक खेल में भाग लेने के लिए आमंत्रित किया। मान लीजिए कि 9 कमरों के घर में 5 वस्तुएं और 6 वर्ण हैं; पात्रों में से एक घर के एक कमरे में वस्तुओं में से एक को छुपाता है। खेल का उद्देश्य यह अनुमान लगाना है कि कौन सी वस्तु किस पात्र से छिपी है और घर के किस कमरे में वस्तु छिपी है।

सभी छात्रों ने भाग लेने का फैसला किया। हर बार एक छात्र को खींचा जाता है और अपना उत्तर देता है। उत्तर हमेशा पिछले वाले से अलग होने चाहिए, और एक ही छात्र को एक से अधिक बार नहीं निकाला जा सकता है। यदि छात्र का उत्तर सही है, तो उसे विजेता घोषित किया जाता है और खेल समाप्त हो जाता है। प्राचार्य जानते हैं कि कुछ छात्रों को उत्तर सही मिलेगा क्योंकि वहाँ है:

a) संभव से १० अधिक छात्र अलग-अलग उत्तर।
बी) संभव से 20 छात्र अधिक विभिन्न उत्तर।
ग) 119 छात्र संभावित से अधिक विभिन्न उत्तर।
d) 260 छात्र संभावित से अधिक विभिन्न उत्तर।
ई) 270 छात्र संभावित से अधिक विभिन्न उत्तर।

संकल्प

गिनती के मूल सिद्धांत के अनुसार, संभावित उत्तरों की संख्या वर्णों, वस्तुओं और कमरों की मात्रा के गुणनफल के बराबर होगी।

5 · 6 · 9 = 270.

चूंकि छात्रों की संख्या 280 है, तो छात्रों की संख्या और संभावनाओं की संख्या के बीच का अंतर 10 है।

उत्तर वैकल्पिक ए.

२) (एनेम) यह अनुमान है कि एकर में स्तनधारियों की २०९ प्रजातियाँ हैं, जिन्हें नीचे दी गई तालिका के अनुसार वितरित किया गया है।

हम स्तनधारियों की तीन प्रजातियों के बीच एक तुलनात्मक अध्ययन करना चाहते हैं - एक सीतासियन समूह से, दूसरा प्राइमेट समूह से और तीसरा कृंतक समूह से। इस अध्ययन के लिए इन प्रजातियों के साथ बनने वाले अलग-अलग सेटों की संख्या बराबर है:

ए) 1320

बी) 2090

सी) 5840

घ) 6600

ई) 7245।

संकल्प:

हम जानते हैं कि 2 सीतासियां, 20 प्राइमेट और 33 कृंतक हैं। तो, गिनती के मूल सिद्धांत के अनुसार, संभावित अलग-अलग सेटों की संख्या होगी:

2 ·20 ·33 = 1320

उत्तर वैकल्पिक ए.

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatorial-principio-fundamental-da-contagem.htm