बहुकोणीय आकृति (लैटिन से पाली — अनेक — और हेड्रोन — चेहरा) हैं आंकड़ोंतीन आयामी नियमित बहुभुजों के मिलन से बनता है, जिसमें बहुफलकीय कोण सर्वांगसम होते हैं। इन बहुभुजों के मिलन से ऐसे तत्व बनते हैं जो बहुफलक बनाते हैं, वे हैं: कोने, किनारों तथा चेहरे के. हालांकि, प्रत्येक त्रि-आयामी आकृति एक पॉलीहेड्रॉन नहीं है, इसका एक उदाहरण वे आंकड़े हैं जिनके घुमावदार चेहरे हैं जिन्हें कहा जाता है गोल शरीर.
एक गणितीय सूत्र है जो एक बहुफलक के तत्वों से संबंधित है जिसे कहा जाता है यूलर का संबंध. इसके अलावा, पॉलीहेड्रा को दो समूहों में बांटा गया है: तथाकथित पॉलीहेड्रा उत्तल और यह उत्तल नहीं. कुछ पॉलीहेड्रा विशेष ध्यान देने योग्य हैं, उन्हें कहा जाता है प्लेटो का बहुफलक: चतुर्पाश्वीय, षट्फलक, अष्टफलक, द्वादशफ़लक तथा विंशतिफलक.
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उत्तल पॉलीहेड्रा
द्वारा गठित होने पर एक पॉलीहेड्रॉन उत्तल होगा बहुभुज उत्तल, ताकि निम्नलिखित शर्तें स्वीकार की जा सकें:
- बहुभुज के दो कभी नहीँ वे समतलीय हैं, अर्थात वे एक ही तल से संबंधित नहीं हैं।
- इनमें से किसी एक बहुभुज की प्रत्येक भुजा केवल दो बहुभुजों की होती है।
- जिस तल में इनमें से कोई एक बहुभुज होता है, वह अन्य बहुभुजों को उसी आधे स्थान में छोड़ देता है।
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उत्तल बहुफलक के अवयव
इस उत्तल पॉलीहेड्रॉन पर विचार करें:
आप चतुर्भुज चित्र में कहा जाता है चेहरे के पॉलीहेड्रॉन का।
आप पंचकोण बहुफलक के फलक और आधार हैं, जिसका नाम है पंचकोणीय आधार पॉलीहेड्रॉन।
प्रत्येक फलक को बनाने वाले खण्ड कहलाते हैं किनारों पॉलीहेड्रॉन का।
वे बिंदु जहाँ किनारे मिलते हैं, कहलाते हैं कोने.
रेखा खंड JC कहलाएगा विकर्ण पॉलीहेड्रॉन का, द्वारा दर्शाया गया है:
जेसी विकर्णों में से एक है, हम समझते हैं विकर्ण पॉलीहेड्रॉन के रूप में रेखा खंड जो दो शीर्षों को मिलाता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं.
हमारे पास किनारों के बीच बने पॉलीहेड्रल कोण भी हैं, जिन्हें निम्न द्वारा दर्शाया गया है:
एक बहुफलकीय कोण को कहा जाता है a त्रिफलक कब तीन किनारों की उत्पत्ति एक शीर्ष से होती है। इसी तरह, इसे कहा जाता है चतुष्फलकीय, मामला चार किनारों की उत्पत्ति एक शीर्ष से होती है, और इसी तरह।
अब से, हम कुछ संकेतन स्थापित करेंगे, वे हैं:
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उत्तल पॉलीहेड्रॉन के गुण
संपत्ति १
सभी फलकों के किनारों का योग बहुफलक के किनारों की संख्या के दोगुने के बराबर है।
उदाहरण
एक बहुफलक में 6 वर्ग फलक होते हैं। आइए किनारों की संख्या निर्धारित करें।
संपत्ति के अनुसार, चेहरे के किनारों की संख्या को चेहरों की संख्या से गुणा करें, और यह किनारों की संख्या के दोगुने के बराबर है। इस प्रकार:
संपत्ति २
सभी फलकों के शीर्षों का योग सभी फलकों के किनारों के योग के बराबर होता है, जो किनारों की संख्या के दोगुने के बराबर होता है।
उदाहरण
5 चतुष्फलकीय कोणों और 4 षट्फलकीय कोणों वाला एक बहुफलक। आइए किनारों की संख्या निर्धारित करें।
पिछले उदाहरण के अनुरूप, दूसरा गुण कहता है कि सभी फलकों के किनारों का योग किनारों की संख्या के दोगुने के बराबर है। किनारों की संख्या 5 बटा 4 और 4 बटा 6 के गुणनफल द्वारा दी गई है, क्योंकि वे 5 चतुष्फलकीय और 4 हेक्साहेड्रल कोण हैं। इस प्रकार:
अवतल (गैर-उत्तल) पॉलीहेड्रा
एक पॉलीहेड्रॉन गैर-उत्तल या अवतल होता है, जब हम अलग-अलग चेहरों पर दो बिंदु लेते हैं और सीधे आर जिसमें ये बिंदु शामिल हैं, सभी पॉलीहेड्रॉन में निहित नहीं हैं।
ध्यान दें कि पॉलीहेड्रॉन में सीधी रेखा (नीले रंग में) पूर्ण नहीं होती है, इसलिए पॉलीहेड्रॉन (गुलाबी में) अवतल या गैर-उत्तल होता है।
नियमित पॉलीहेड्रा
हम कहते हैं कि एक बहुफलक नियमित होता है जब आपके चेहरे नियमित बहुभुज हैं एक दूसरे के बराबर और बहुफलकीय कोणों के साथ सभी समान।
कुछ उदाहरण देखें:
ध्यान दें कि आपके सभी चेहरे नियमित बहुभुज हैं। इसके फलक वर्गों से बनते हैं और किनारे सभी सर्वांगसम होते हैं, अर्थात इनका माप समान होता है।
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यूलर का संबंध
के रूप में भी जाना जाता है यूलर का प्रमेय, परिणाम लियोनहार्ड यूलर (1707 - 1783) द्वारा सिद्ध किया गया था और गारंटी देता है कि in सभी बंद उत्तल बहुफलक निम्नलिखित संबंध मान्य है:
प्लेटो का पॉलीहेड्रा
कोई भी बहुफलक जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है, प्लेटो का बहुफलक कहलाता है:
यूलर संबंध मान्य है
सभी चेहरों के किनारों की संख्या समान होती है
सभी बहुफलकीय कोणों में किनारों की संख्या समान होती है
यह सिद्ध है कि केवल पाँच नियमित और उत्तल पॉलीहेड्रा, या प्लेटो के पॉलीहेड्रा हैं, वे हैं:
नियमित चतुष्फलक
चतुष्फलक है 4 त्रिभुजाकार फलक सर्वांगसम और 4 त्रिभुज कोण सर्वांगसम
नियमित हेक्साहेड्रोन
हेक्साहेड्रोन है 6 वर्गाकार फलक सर्वांगसम और 8 त्रिभुज कोण सर्वांगसम
नियमित अष्टफलक
अष्टफलक है 8 त्रिभुजाकार फलक सर्वांगसम और 6 चतुष्फलकीय कोण सर्वांगसम
नियमित डोडेकाहेड्रोन
डोडेकाहेड्रोन है 12 पंचकोणीय फलक सर्वांगसम और 20 कोणत्रिफलक सर्वांगसम
नियमित इकोसाहेड्रोन
इकोसाहेड्रोन है 20 त्रिभुजाकार फलक सर्वांगसम और 12 पंचकोणीय कोण सर्वांगसम
हल किए गए अभ्यास
1) (एनेम) एक गहना को ३२ मुख वाले उत्तल बहुफलक के रूप में काटा गया था, जिनमें से २० हेक्साहेड्रा हैं और शेष पंचकोणीय हैं। यह गहना उस महिला के लिए एक उपहार होगा जो अपना जन्मदिन मना रही है, एक आयु पूरी कर रही है जिसकी संख्या इस बहुफलक के शीर्षों की संख्या है। यह महिला पूरा कर रही है:
ए) 90 साल
बी) 72 साल पुराना
सी) 60 साल पुराना years
डी) 56 साल पुराना
ई) 52 वर्ष
समाधान:
देता है संपत्ति 1 उत्तल बहुफलक से हम जानते हैं कि:
अब कैसे हम किनारों की संख्या जानते हैं यह है चेहरों की संख्या, हम यूलर संबंध का उपयोग कर सकते हैं।
चूंकि आप जिस आयु को पूरा कर रहे हैं वह शीर्षों की संख्या के बराबर है, तो यह 60 वर्ष है। वैकल्पिक सी.
2) (पीयूसी-एसपी) त्रिभुजाकार फलकों वाला उत्तल पॉलीहेड्रॉन कितने किनारों पर होता है, जहां शीर्षों की संख्या फलकों की संख्या का तीन-पांचवां होती है?
ए) 60
बी) 30
ग) 25
घ) 20
ई) 15
समाधान:
उत्तल पॉलीहेड्रॉन के गुणों और अभ्यास कथन से हमारे पास है:
इन मानों को यूलर संबंध में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास निम्नलिखित हैं:
पिछले समीकरण को व्यवस्थित करने और समीकरण को F में हल करने पर, यह निम्नानुसार है:
किनारों के समीकरण में पाए जाने वाले फलकों की संख्या के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:
वैकल्पिक बी
रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक