बीजीय व्यंजक गुणनखंड में बीजीय व्यंजक लिखना शामिल है उत्पाद प्रपत्र. व्यावहारिक मामलों में, यानी कुछ समस्याओं के समाधान में शामिल हैं बीजीय व्यंजक, गुणनखंडन अत्यंत उपयोगी है, क्योंकि अधिकांश स्थितियों में, यह कार्य अभिव्यक्ति को सरल करता है।
बीजीय व्यंजकों का गुणनखंडन करने के लिए, हम गणित में एक बहुत ही महत्वपूर्ण परिणाम का उपयोग करेंगे जिसे कहा जाता है अंकगणित की मौलिक प्रमेय, जिसमें कहा गया है कि 1 से बड़ा कोई भी पूर्णांक के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है अभाज्य सँख्या, देखो:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
हमने सिर्फ 121 और 60 की संख्या निकाली।
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बीजीय व्यंजकों के गुणनखंडन के तरीके
अब हम मुख्य गुणनखंडन विधियों को देखेंगे, सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले हम एक संक्षिप्त ज्यामितीय औचित्य करेंगे। देखो:
साक्ष्य फैक्टरिंग
आयत पर विचार करें:
ध्यान दें कि आयत नीला प्लस हरे आयत का क्षेत्रफल बड़ा आयत में परिणत होता है। आइए इनमें से प्रत्येक क्षेत्र को देखें:
नीला = बी · एक्स
हरा = बी · वाई
बड़ी = बी · (एक्स + वाई)
तो, हमें करना होगा:
बड़ी = एनीला + एहरा
बी (एक्स + वाई) = बीएक्स + बाय
उदाहरण
द) व्यंजक का गुणनखंड करने के लिए: 12x + 24y.
ध्यान दें कि 12 साक्ष्य का कारक है, क्योंकि यह दोनों पार्सल में दिखाई देता है, इसलिए कोष्ठक के अंदर जाने वाली संख्याओं को निर्धारित करने के लिए, यह पर्याप्त है शेयर साक्ष्य में कारक द्वारा प्रत्येक पार्सल।
12x: 12 = एक्स
24y: 12 = २ वर्ष
12x + 24y = 12 · (एक्स + २ वर्ष)
बी) गुणनखंड व्यंजक 21ab. के लिए2 - 70वां2बी
उसी तरह, शुरू में, साक्ष्य में कारक निर्धारित किया जाता है, अर्थात, पार्सल में दोहराया जाने वाला कारक। देखें कि संख्यात्मक भाग से हमारे पास है 7 एक सामान्य कारक के रूप में, क्योंकि यह वह है जो दोनों संख्याओं को विभाजित करता है। अब, शाब्दिक भाग के संबंध में, देखें कि केवल गुणनखंड दोहराया गया है अब, इसलिए, साक्ष्य में कारक है: 7ab.
२१ab2 - 70वां2बी = 7ab (3बी - 10)
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समूहन द्वारा फैक्टरिंग
समूहन द्वारा गुणनखंड है साक्ष्य द्वारा फैक्टरिंग से उत्पन्न होने वाले, केवल अंतर यह है कि, मोनोमियम को एक सामान्य कारक या साक्ष्य में एक कारक के रूप में रखने के बजाय, हमारे पास एक होगा बहुपद, उदाहरण देखें:
व्यंजक (a + b) · xy + (a + b) · wz. पर विचार करें2
ध्यान दें कि सामान्य कारक द्विपद है (ए + बी),इसलिए, पिछले व्यंजक का गुणनखंड रूप है:
(ए + बी) · (xy + wz2)
दो वर्गों के बीच का अंतर
दो संख्याओं a और b पर विचार करें, जब हमारे पास a अंतर इन संख्याओं के वर्ग का, अर्थात्2 - बी2, इसलिए हम उन्हें as के रूप में लिख सकते हैं अंतर के लिए योग का उत्पाद, अर्थात:
2 - बी2 = (ए + बी) · (ए - बी)
उदाहरण
द) व्यंजक x. का गुणनखंड करने के लिए2 - आप2.
हम दो वर्गों के बीच के अंतर का उपयोग कर सकते हैं, इसलिए:
एक्स2 - आप2 = (एक्स + वाई) · (एक्स - वाई)
बी) कारक 20202 – 2.0192.
हम दो वर्गों के बीच के अंतर का उपयोग कर सकते हैं, इसलिए:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
पूर्ण वर्ग का त्रिपद
अगला वर्ग भुजा (a + b) से लें और उसके अंदर बने वर्गों और आयतों के क्षेत्रफलों को नोट करें।
area का क्षेत्र देखें वर्ग बड़ा (a + b) द्वारा दिया जाता है2, लेकिन, दूसरी ओर, सबसे बड़े वर्ग का क्षेत्रफल इसके अंदर के वर्गों और आयतों को जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है, जैसे:
(ए + बी)2 = द2+ अब + अब + बी2
(ए + बी)2 = द2+ 2बी + बी2
(ए + बी)2 = द2 + 2ab + बी2
इसी तरह, हमें यह करना होगा:
(ए - बी)2 = द2 - 2ab + b2
उदाहरण
व्यंजक पर विचार करें x2 + 12x + 36।
इस प्रकार के व्यंजक को गुणनखंड करने के लिए, बस चर x के गुणांक और स्वतंत्र गुणांक की पहचान करें, और दिए गए सूत्र से तुलना करें, देखें:
एक्स2 + 12x + 36
2 + 2ab + बी2
तुलना करते हुए देखें कि x = a, 2b = 12 और b2 = 36; समीकरणों में से, हमारे पास वह b = 6 है, इसलिए गुणनखंडित व्यंजक है:
एक्स2 + 12x + 36 = (x + 6)2
हाई स्कूल ट्रिनोमियल
कुल्हाड़ी ट्रिनोमियल पर विचार करें2 + बीएक्स + सी। इसके गुणनखंडित आकार का उपयोग करके पाया जा सकता है तुम्हारी जड़ें, अर्थात्, x के मान जो उस व्यंजक को शून्य करते हैं। उन मानों को निर्धारित करने के लिए जो इस अभिव्यक्ति को शून्य बनाते हैं, बस समीकरण को हल करें कुल्हाड़ी2 + bx + c = 0 जो भी विधि सुविधाजनक हो उसका उपयोग करना। यहां हम सबसे अच्छी ज्ञात विधि पर प्रकाश डालते हैं: भास्कर विधि.
कुल्हाड़ी ट्रिनोमियल का तथ्यात्मक रूप2 + बीएक्स + सी है:
कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी = ए · (एक्स - एक्स1) · (एक्स - एक्स2)
उदाहरण
व्यंजक पर विचार करें x2 + एक्स - 20।
पहला कदम x समीकरण की जड़ों को निर्धारित करना है।2 + एक्स - 20 = 0।
तो व्यंजक x. का गुणनखंडित रूप2 + x - 20 है:
(एक्स - 4) · (एक्स + 5)
दो संख्याओं के अंतर का घन
दो संख्याओं a और b के बीच के अंतर का घन निम्न द्वारा दिया गया है:
(ए - बी)3 = (ए - बी) · (ए - बी)2
(ए - बी)3 = (ए - बी) · (ए2 - 2ab + b2)
दो संख्याओं के योग का घन
इसी तरह, हमारे पास वह है (ए + बी)3 = (ए + बी) · (ए + बी)2 , जल्द ही:
(ए + बी)3 = (ए + बी) · (ए .)2 + 2ab + बी2)
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - (सीफेट-एमजी) जहां संख्या n = 6842 – 6832, n के अंकों का योग है:
ए) 14
बी) 15
सी) 16
घ) 17
ई) 18
संकल्प
वैकल्पिक डी. n के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए, हम पहले व्यंजक का गुणनखंड करते हैं, क्योंकि वर्गों की गणना करना और फिर घटाना अनावश्यक कार्य है। दो वर्गों के बीच के अंतर का उपयोग करके व्यंजक का गुणनखंड करना, हमारे पास है:
एन = 6842 – 6832
एन = (684 + 683) · (684 - 683)
एन = 1,367 · 1
एन = 1,367
अत: n के अंकों का योग 1 + 3 + 6 + 7 = 17. द्वारा दिया जाता है
प्रश्न 2 - (संशोधित इंस्पर-एसपी) अभिव्यक्ति का मूल्य निर्धारित करें:
संकल्प
अंकन को आसान बनाने के लिए, आइए a = 2009 और b = 2 नाम दें। याद रखें कि 22 = 4, तो हमें यह करना होगा:
ध्यान दें कि, भिन्न के अंश में, हमारे पास दो वर्गों के बीच का अंतर है, इसलिए हम लिख सकते हैं2 - बी2 = (ए + बी) (ए - बी)। जल्द ही:
ए - बी = 2009 - 2 = 2007।
रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm