जब हम पॉलीहेड्रा का अध्ययन करते हैं, तो हम पाते हैं: प्लेटो के ठोस एक विशेष मामले के रूप में। प्लेटो ठोस होने के लिए, पॉलीहेड्रॉन को तीन शर्तों को पूरा करना होगा:
उत्तल होना;
सभी चेहरों में किनारों की समान मात्रा होती है;
सभी कोने किनारों की समान संख्या के सिरे हैं।
कई दार्शनिकों ने ब्रह्मांड की उत्पत्ति को समझने की कोशिश की, और प्लेटो ने इसे देखा स्थानिक ज्यामिति इस उत्पत्ति के लिए स्पष्टीकरण। प्लेटो के ठोस हैं:
चतुष्फलक;
हेक्साहेड्रोन;
अष्टफलक;
डोडेकाहेड्रॉन;
आइकोसाहेड्रोन।
उन सभी को नियमित बहुभुज माना जाता है, क्योंकि उनका किनारों और उनके चेहरे सर्वांगसम हैं. प्लेटो के ठोस किसका सम्मान करते हैं? यूलर का संबंध, जो सूत्र V + F = A + 2 द्वारा शीर्षों, फलकों और किनारों की संख्या को सूचीबद्ध करता है।
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नियमित पॉलीहेड्रा
नियमित पॉलीहेड्रा की खोज बार-बार होती है, क्योंकि उनके साथ काम करना आसान होता है। एक पॉलीहेड्रॉन को नियमित के रूप में वर्गीकृत किया जाता है यदि यह एक ही द्वारा गठित सभी चेहरे हैं बहुभुज अनुकूल. जब ऐसा होता है, कोणों और किनारे भी सर्वांगसम हैं।
प्लेटो के ठोस नियमित पॉलीहेड्रा के विशेष मामले हैं। घन, उदाहरण के लिए, जो एक प्लेटो ठोस है, इसके सभी फलक सर्वांगसम वर्गों द्वारा बनाए गए हैं। प्लेटो के पाँच ठोसों में से, तीन सर्वांगसम त्रिभुजों वाले त्रिभुजाकार फलकों से बनते हैं, एक वर्गाकार फलकों से बनता है और दूसरा पंचकोणीय फलकों से बनता है।
प्लेटो के ठोस क्या हैं?
प्लेटो एक यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ थे। उन्होंने गणित में बहुत योगदान दिया और ब्रह्मांड को समझने की कोशिश में, प्रकृति के तत्वों के साथ जुड़े ठोस.
एक प्लेटोनिक ठोस होने के लिए, पॉलीहेड्रॉन होना चाहिए नियमित और उत्तल। केवल पाँच ठोस हैं जो इस परिभाषा को पूरा करते हैं। वे हैं: टेट्राहेड्रोन, क्यूब या हेक्साहेड्रोन, ऑक्टाहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन और डोडेकेड्रोन।
प्रकृति के तत्व और ठोस के बीच बना संबंध था:
चतुर्पाश्वीय - आग
षट्फलक - पृथ्वी
अष्टफलक - वायु
विंशतिफलक - पानी
द्वादशफ़लक - कॉस्मो या यूनिवर्स
प्लेटो ठोस होने के लिए, हे बहुतल उत्तल भी होना चाहिए, सभी फलकों में किनारों की संख्या समान होनी चाहिए और सभी शीर्षों को किनारों की समान संख्या के सिरे होने चाहिए।
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नियमित चतुष्फलक
नियमित चतुष्फलक एक बहुफलक है जो 4 चेहरे हैं, जो इसके नाम को सही ठहराता है (टेट्रा = चार)। आपके सभी चेहरे हैं त्रिभुजों द्वारा निर्मित. यह एक like के आकार का है पिरामिड त्रिभुजाकार आधार का है और इसे नियमित आधार के पिरामिड के रूप में जाना जाता है, क्योंकि इसके सभी फलक सर्वांगसम हैं। इसके कुल 4 फलक हैं ( ( के प्रारूप में) समान भुजाओं वाला त्रिकोण), 4 कोने और 6 किनारे।
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नियमित घन या हेक्साहेड्रोन
नियमित हेक्साहेड्रोन 6. है चेहरे के, जो इसके नाम को सही ठहराता है (हेक्स = छह)। तुम्हारे चेहरे सब हैं वर्ग. इसे घन के रूप में भी जाना जाता है और इसके 6 फलक, 12 किनारे और 8 शीर्ष होते हैं।
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अष्टफलक
पिछले वाले की तरह, नाम चेहरों की संख्या से जुड़ा हुआ है, इसलिए अष्टफलक 8 चेहरे हैं. इन चेहरों ने समबाहु त्रिभुज आकार. अष्टफलक में 8 फलक, 12 किनारे और 6 शीर्ष होते हैं।
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विंशतिफलक
icosahedron में कुल होता है 20 चेहरे. उनके चेहरे समबाहु त्रिभुज के आकार के होते हैं, ठीक अष्टफलक की तरह। इसके कुल 20 फलक, 30 किनारे और 12 शीर्ष हैं।
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द्वादशफ़लक
डोडेकाहेड्रॉन प्लेटो के ठोस पदार्थों में अंतिम है। इसके कुल 12 चेहरे हैं और यह माना जाता है अधिक हार्मोनिक पांच प्लेटोनिक ठोसों में से। उनके चेहरों में पेंटागन का आकार है। इसमें 12 फलक, 30 किनारे और 20 शीर्ष हैं।
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यूलर का सूत्र
यूलेरियन पॉलीहेड्रा उत्तल पॉलीहेड्रा हैं। यूलर ने एक सूत्र विकसित किया जो उत्तल पॉलीहेड्रॉन में चेहरों की संख्या (एफ), शिखरों की संख्या (वी) और किनारों की संख्या (ए) से संबंधित है। सभी प्लेटो ठोस यूलर संबंध को संतुष्ट करते हैं।
वी + एफ = ए + 2 |
सूत्र का विश्लेषण, तब गणना करना संभव है चेहरे और किनारों की संख्या से कोने की संख्या, या कोने और किनारों की संख्या से चेहरे की संख्या, संक्षेप में, इसके दो तत्वों को जानकर, तीसरे को खोजना हमेशा संभव है.
उदाहरण:
यह जानते हुए कि एक बहुफलक में 8 शीर्ष और 12 किनारे होते हैं और यह नियमित है, इसके कितने फलक होंगे?
हम जानते हैं कि वी + एफ = ए + 2
वी = 8
ए = 12
8 + एफ = 12 + 2
8 + एफ = 14
एफ = 14 - 8
एफ = 6
हल किए गए अभ्यास
प्रश्न 1 - (एनेम २०१६) प्लेटो के ठोस उत्तल पॉलीहेड्रा होते हैं जिनके सभी फलक एक बहुभुज के सर्वांगसम होते हैं नियमित, सभी शीर्षों में आपतित किनारों की संख्या समान होती है और प्रत्येक किनारे को केवल दो द्वारा साझा किया जाता है। चेहरे के। वे महत्वपूर्ण हैं, उदाहरण के लिए, खनिज क्रिस्टल के आकार को वर्गीकृत करने और विभिन्न वस्तुओं के विकास में। सभी उत्तल बहुफलकों की तरह, प्लेटो के ठोस भी यूलर संबंध V - A + F = 2 का सम्मान करते हैं, जहां V, A और F क्रमशः बहुफलक के शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या हैं।
एक क्रिस्टल में, जिसका आकार त्रिभुजाकार प्लेटो के बहुफलक जैसा है, शीर्षों की संख्या और फलकों की संख्या के बीच क्या संबंध है?
ए) 2वी - 4एफ = 4
बी) 2वी - 2एफ = 4
सी) 2वी - एफ = 4
डी) 2वी + एफ = 4
ई) 2वी + 5एफ = 4
संकल्प
वैकल्पिक सी. चूँकि फलक त्रिभुजाकार होते हैं, हम जानते हैं कि प्रत्येक फलक के लिए 3 किनारे होते हैं। हालांकि, किनारों की संख्या को चेहरों की संख्या से जोड़ने के लिए, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक किनारा निहित है दो चेहरों पर, क्योंकि दो चेहरों का मिलन एक किनारा बनाता है, इसलिए हम इस मामले में आमने-सामने संबंध बना सकते हैं प्रति:
यूलर संबंध को वी - ए + एफ = 2 के रूप में रखने और ए को प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह करना होगा:
प्रश्न 2 - नीचे दिए गए विकल्पों में से निर्णय कीजिए कि कौन सा प्लेटो ठोस नहीं है।
ए) क्यूब
बी) नियमित टेट्राहेड्रोन
सी) इकोसाहेड्रोन
डी) डोडेकाहेड्रोन
ई) कोन
संकल्प:
वैकल्पिक ई. विकल्पों में से, केवल एक जो प्लेटो ठोस के अनुरूप नहीं है, वह है शंकु.
राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा. द्वारा
गणित अध्यापक
स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm