सेट: संकेतन, प्रतिनिधित्व करने के तरीके, संचालन

की समझ सेट के अध्ययन का मुख्य आधार है बीजगणित और गणित में बहुत महत्व की अवधारणाएं, जैसे कि कार्यों और असमानताएं। सेट के लिए हम जिस नोटेशन का उपयोग करते हैं वह हमेशा हमारे वर्णमाला से एक अपरकेस अक्षर होता है (उदाहरण के लिए सेट ए या सेट बी)।

के अनुसार सेट का प्रतिनिधित्व, यह द्वारा किया जा सकता है वेन आरेख, केवल इसके तत्वों की विशेषताओं का वर्णन करके, तत्वों की गणना करके या उनके गुणों का वर्णन करके। समस्याओं के साथ काम करते समय जिसमें सेट शामिल होते हैं, ऐसी स्थितियां होती हैं जिनके प्रदर्शन की आवश्यकता होती है सेट के बीच संचालन, संघ होने के नाते, प्रतिच्छेदन और अंतर। क्या हम इन सबका विस्तार से अध्ययन करने जा रहे हैं?

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सेट का संकेतन और प्रतिनिधित्व

समुच्चय को निरूपित करने के लिए हम सदैव a. का प्रयोग करते हैं वर्णमाला का बड़ा अक्षर, और तत्व हमेशा बीच में होते हैं चांबियाँ और अल्पविराम से अलग हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, 1 से अधिक और 20 से कम सम संख्याओं के समुच्चय का प्रतिनिधित्व करने के लिए, हम निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करते हैं: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}।

• सेट के प्रतिनिधित्व के रूप

1. गणना द्वारा प्रतिनिधित्व: हम इसके तत्वों की गणना कर सकते हैं, यानी हमेशा ब्रेसिज़ के बीच एक सूची बना सकते हैं। एक उदाहरण देखें:

ए = {1,5,9,12,14,20}

1. सुविधाओं का वर्णन: हम केवल समुच्चय की विशेषता का वर्णन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि X एक समुच्चय है, हमारे पास वह X = {x 5 का एक धनात्मक संख्या गुणज है}; Y: वर्ष के महीनों का समुच्चय है।

2. वेन आरेख: समुच्चयों को एक आरेख के रूप में भी दर्शाया जा सकता है, जिसे a. के रूप में जाना जाता है वेन आरेख, जो संचालन करने के लिए एक अधिक कुशल प्रतिनिधित्व है।

उदाहरण:

समुच्चय A = {1,2,3,4,5} को देखते हुए, हम इसे निम्नलिखित वेन आरेख में प्रदर्शित कर सकते हैं:

सेट A. का आरेख

एक सेट और सदस्यता संबंध के तत्व

किसी भी तत्व को देखते हुए, हम कह सकते हैं कि तत्व अंतर्गत आता है सेट करने के लिए or संबंधित नहीं उस सेट को। इस सदस्यता संबंध को अधिक तेज़ी से दर्शाने के लिए, हम प्रतीकों का उपयोग करते हैं(संबंधित के रूप में पढ़ें) और ∉ (संबंधित के रूप में पढ़ें)। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि P का समुच्चय है जोड़ी संख्या, हम कह सकते हैं कि 7 P और वह 12  पी

सेट की समानता

सेटों के बीच तुलना अपरिहार्य है, इसलिए हम कह सकते हैं कि दो सेट बराबर हैं या नहीं, इसके प्रत्येक तत्व की जांच कर रहे हैं। मान लीजिए A = { 0,1,3,4,8} और B = { 8,4,3,1,0}, भले ही अवयव भिन्न क्रम में हों, हम कह सकते हैं कि समुच्चय A और B बराबर हैं: ए = बी।

समावेश संबंध

दो सेटों की तुलना करते समय, हम कई रिश्तों में आ सकते हैं, और उनमें से एक समावेश संबंध है। इस संबंध के लिए, हमें कुछ प्रतीकों को जानना होगा:

⊃ → इसमें शामिल है→ निहित है

⊅ → . शामिल नहीं है→निहित नहीं है

युक्ति: प्रतीक का प्रारंभिक भाग हमेशा बड़े समुच्चय की ओर होगा।

जब समुच्चय A के सभी अवयव भी समुच्चय B के होते हैं, तो हम कहते हैं कि A ⊂ बी या कि ए बी में निहित है। उदाहरण के लिए, A={1,2,3} और B={1,2,3,4,5,6}। द्वारा प्रतिनिधित्व करना भी संभव है वेन आरेख, जो इस तरह दिखेगा:

• ए बी में निहित है:

ए बी

सबसेट

जब एक समावेश संबंधअर्थात् समुच्चय A समुच्चय B में समाहित है, हम कह सकते हैं कि A, B का उपसमुच्चय है। उपसमुच्चय समुच्चय रहता है, और a सेट में कई उपसमुच्चय हो सकते हैं, इससे संबंधित तत्वों से निर्मित।

उदाहरण के लिए: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} के समुच्चय B: {1,2,3} हैं; सी: {1,3,5,7}; D: {1} और यहाँ तक कि समुच्चय A {1,2,3,4,5,6,7,8}, अर्थात् A स्वयं का एक उपसमुच्चय है।

एकात्मक सेट

जैसा कि नाम से ही पता चलता है, यह वह सेट है जो केवल एक तत्व है, पहले दिखाए गए सेट D:{1} की तरह। समुच्चय B: {1,2,3} को देखते हुए, हमारे पास उपसमुच्चय {1}, {2} और {3} हैं, जो सभी इकाई समुच्चय हैं।

ध्यान: समुच्चय E: {0} भी एकात्मक समुच्चय है, क्योंकि इसमें एक ही अवयव "0" है, और यह रिक्त समुच्चय नहीं है।

यह भी पढ़ें: पूर्णांकों का समुच्चय - तत्व और विशेषताएँ

खाली सेट

और भी अधिक विचारोत्तेजक नाम के साथ, खाली सेट में कोई तत्व नहीं है और यह किसी भी सेट का सबसेट है। रिक्त समुच्चय को निरूपित करने के लिए दो संभावित निरूपण हैं, वे हैं V: { } या प्रतीक ।

भाग सेट

हम किसी दिए गए समुच्चय के सभी संभावित उपसमुच्चय भागों के समुच्चय के रूप में जानते हैं। मान लीजिए A: {1,2,3,4}, हम इस समुच्चय A के सभी उपसमुच्चयों को उन समुच्चयों से शुरू करके सूचीबद्ध कर सकते हैं जो कोई तत्व नहीं है (खाली) और फिर जिनमें एक, दो, तीन और चार तत्व हैं, क्रमशः।

• खाली सेट: { };

• यूनिट सेट: {1}; {2};{3}; {4}.

• दो तत्वों के साथ सेट: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.

• तीन तत्वों के साथ सेट: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.

• चार तत्वों के साथ सेट करें: {1,2,3,4}.

इसलिए, हम A के भागों के समुच्चय का वर्णन इस प्रकार कर सकते हैं:

पी: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} }

यह पता लगाने के लिए कि किसी समुच्चय को कितने भागों में विभाजित किया जा सकता है, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

एन [पी (ए)] = 2^{नहीं न}

A के भागों की संख्या की गणना a. द्वारा की जाती है शक्ति आधार 2 को उठाया गया नहीं न, किस पर नहीं न सेट में तत्वों की संख्या है।

समुच्चय A: {1,2,3,4} पर विचार करें, जिसमें चार अवयव हैं। इस समुच्चय के संभावित उपसमुच्चयों का योग है 2⁴ =16.

यह भी पढ़ें: अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय क्या है?

परिमित और अनंत समुच्चय

सेट के साथ काम करते समय, हमें ऐसे सेट मिलते हैं जो हैं सीमित (सीमित) और जो हैं असीमित (अनंत). का समूह सम या विषम संख्या, उदाहरण के लिए, अनंत है और इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए, हम इसके कुछ तत्वों का क्रम से वर्णन करते हैं, ताकि यह अनुमान लगाया जा सके कि अगले तत्व क्या होंगे, और हम दीर्घवृत्त को इसमें डालते हैं अंतिम।

मैं: {1,3,5,7,9,11...}

पी: {2,4,6,8,10, ...}

हालांकि, एक परिमित सेट में, हम दीर्घवृत्त को अंत में नहीं रखते हैं, क्योंकि इसकी एक परिभाषित शुरुआत और अंत है।

ए: {1,2,3,4}।

ब्रह्मांड सेट

हे ब्रह्मांड सेट, द्वारा चिह्नित यू, को उन सभी तत्वों द्वारा गठित सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है जिन्हें किसी समस्या के भीतर माना जाना चाहिए। प्रत्येक तत्व ब्रह्माण्ड समुच्चय का है और प्रत्येक समुच्चय ब्रह्माण्ड समुच्चय में समाहित है।

सेट के साथ संचालन

सेट के साथ संचालन हैं: संघ, प्रतिच्छेदन और अंतर।

• सेट का चौराहा

इंटरसेक्शन सेट के बीच के संचालन में से एक है।

एक प्रतिच्छेदन तब होता है जब तत्व एक साथ एक या अधिक सेटों से संबंधित होते हैं। A∩B लिखते समय, हम उन तत्वों की तलाश कर रहे हैं जो सेट ए और सेट बी दोनों से संबंधित हैं।

उदाहरण:

ए = {1,2,3,4,5,6} और बी = {2,4,6,7,8} पर विचार करें, जो तत्व सेट ए और सेट बी दोनों से संबंधित हैं: ए∩बी = { 2 ,4,6}। इस ऑपरेशन का प्रतिनिधित्व निम्नानुसार किया जाता है:

­­ ए∩बी

जब समुच्चय में कोई अवयव उभयनिष्ठ न हो, तो उन्हें कहा जाता है संयुक्त सेट।

असंयुक्त समुच्चयों का प्रतिनिधित्व

ए∩बी =

• सेट के बीच का अंतर

सेट के बीच अंतर (ए - बी)

इसे परिकलित करें दो सेटों के बीच का अंतर उन तत्वों की तलाश करना है जो दो सेटों में से केवल एक से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, ए - बी में उत्तर के रूप में तत्वों से बना एक सेट होता है जो सेट ए से संबंधित होता है और सेट बी से संबंधित नहीं होता है।

उदाहरण: ए: {1,2,3,4,5,6} और बी: {2,4,6,7,8}। ध्यान दें कि ए ∩ बी = {2,4,6}, तो हमारे पास वह है:

ए) ए - बी = { 1,3,5}

बी) बी - ए = {7,8}

• एकता

दो या दो से अधिक समुच्चयों का मिलन है अपनी शर्तों में शामिल होना. यदि ऐसे तत्व हैं जो दोनों सेटों में दोहराए जाते हैं, तो वे केवल एक बार लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए: A={1,2,3,4,5} और B={4,5,6,7,10,14}। संघ का प्रतिनिधित्व करने के लिए, हम प्रतीक का उपयोग करते हैं (पढ़ता है: बी के साथ एक संघ)।

ए यू बी = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}

इन ऑपरेशनों के बारे में अधिक जानने के लिए और कई हल किए गए अभ्यासों की जाँच करने के लिए, पढ़ें: सेट के साथ संचालन.

मॉर्गन के नियम

मान लीजिए A और B दो समुच्चय हैं और U ब्रह्मांड समुच्चय है, दो गुण हैं जो मॉर्गन के नियमों द्वारा दिए गए हैं, अर्थात्:

(ए यू बी)^सी = ए^सी बी^सी

(ए बी)^सी = ए^सी यू बी^सी

उदाहरण:

सेट को देखते हुए:

• यू: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

• ए: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

• बी: {5.10,15,20}

आइए देखें कि (ए यू बी)^सी = ए^सी बी^सी. तो, हमें करना होगा:

ए यू बी = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}

इसलिए, (ए यू बी)^सी={1,3,7,9,11,13,17,19}

समानता की सत्यता की जांच करने के लिए, आइए ऑपरेशन ए का विश्लेषण करें^सी बी^सी:

^सी:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}

ख^सी:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}

फिर, ^सी बी^सी ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.

(ए यू बी)^सी = ए^सी बी^सी

हल किए गए अभ्यास

01) यू पर विचार करें: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, ए: {1,2,3,4,5,6} और बी: {4,5,6, 7,8,9}. दिखाओ कि (ए ∩ बी)^सी = ए^सी यू बी^सी.

संकल्प:

• पहला कदम: खोजें (ए ∩ बी)^सी. उसके लिए, हमारे पास है कि ए बी = {4,5,6}, तो (ए बी)^सी ={1,2,3,7,8,9,10}.

• दूसरा चरण: लगता है^सी यू बी^सी.^सी:{7,8,9,10} और बी^सी:{1,2,3,10}, तो ए^सी यू बी^सी = {1,2,3,7,8,9,19}.

यह दिखाया गया है कि (ए ∩ बी)^सी = ए^सी यू बी^सी.

02) यह जानते हुए कि A 1 से 20 तक की सम संख्याओं का समुच्चय है, उस समुच्चय के तत्वों से हम कितने उपसमुच्चय बना सकते हैं?

संकल्प:

पी को वर्णित सेट होने दें, हमारे पास पी: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} है। अतः P के तत्वों की संख्या 10 है।

भागों के सिद्धांत के अनुसार, P के संभावित उपसमुच्चय की संख्या है:

2¹⁰=1024

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक