समीकरणों की प्रणाली: गणना कैसे करें, तरीके, अभ्यास - ब्राज़ील स्कूल

हम एक मानते हैं समीकरणों की प्रणाली जब हम उन समस्याओं को हल करने जा रहे हैं जिनमें संख्यात्मक मात्राएँ शामिल हैं और आम तौर पर, हम. के उपयोग का सहारा लेते हैं समीकरण ऐसी स्थितियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए। अधिकांश वास्तविक समस्याओं में, हमें एक से अधिक पर विचार करना चाहिए समीकरण एक साथ, जो इस प्रकार सिस्टम के डिजाइन पर निर्भर करता है।

यातायात को आकार देने जैसी समस्याओं को रैखिक प्रणालियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। हमें एक रैखिक प्रणाली के तत्वों को समझना चाहिए, किन विधियों का उपयोग करना है और इसका निर्धारण कैसे करना है समाधान।

समीकरणों के निकाय वे होते हैं जो एक से अधिक संख्यात्मक मात्राओं के साथ कार्य करते हैं।

समीकरण

हमारा अध्ययन रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के आसपास होगा, तो आइए पहले समझते हैं कि a रेखीय समीकरण.

एक समीकरण को रैखिक कहा जाएगा जब इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

₁ ·एक्स₁ + द₂ ·एक्स₂ + द₃ ·एक्स₃ +...+ से_{नहीं न} ·एक्स_{नहीं न} = के

जिसमें_{1, 2, 3,..., नहीं न}) वे हैं गुणांकों समीकरण का, (x_1, एक्स_2, एक्स_3,..., एक्स_{नहीं न}) हैं गुप्त और रैखिक होना चाहिए और k है अवधिस्वतंत्र.

• उदाहरण

• -2x + 1 = -8 ® एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण
• 5p + 2r =5 ® दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण
• 9x - y - z = 0 ® तीन अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण
• 8अब +c - d = -9 ® अरेखीय समीकरण E

अधिक जानते हैं: फ़ंक्शन और समीकरण के बीच अंतर

समीकरणों की प्रणाली की गणना कैसे करें?

एक रैखिक प्रणाली का समाधान प्रत्येक क्रमबद्ध और परिमित सेट है कि एक ही समय में सिस्टम के सभी समीकरणों को संतुष्ट करता है।. समाधान सेट के तत्वों की संख्या हमेशा सिस्टम में अज्ञात की संख्या के बराबर होती है।

• उदाहरण

प्रणाली पर विचार करें:

आदेशित जोड़ी (6; -2) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, इसलिए यह सिस्टम का समाधान है। निकाय के विलयनों से बनने वाले समुच्चय को कहते हैं समाधान सेट. ऊपर के उदाहरण से, हमारे पास है:

एस = {(6; -2)}

ब्रेसिज़ और कोष्ठक के साथ लिखने का तरीका एक क्रमबद्ध जोड़ी (हमेशा कोष्ठक के बीच) द्वारा गठित एक समाधान सेट (हमेशा ब्रेसिज़ के बीच) को इंगित करता है।

अवलोकन: यदि दो या दो से अधिक प्रणालियों में एक ही सेट समाधान, इन प्रणालियों को कहा जाता है समकक्ष प्रणाली.

प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि तीन चरणों का पालन करने के लिए उबलती है। इसके लिए सिस्टम पर विचार करें

• चरण 1

पहला कदम है समीकरणों में से एक चुनें (सबसे आसान) और अज्ञात (सबसे आसान) में से एक को अलग करें। इस प्रकार,

एक्स - 2y = -7

एक्स = -7 + 2y

• चरण दो

दूसरे चरण में, बस प्रतिस्थापित करें, अज्ञात समीकरण में, अज्ञात पहले चरण में पृथक। जल्द ही,

3x + 2y = -7

3 (-7 + 2y) + 2y = - 5

-21 +6y + 2y = -5

8y = -5 +21

8y = 16

वाई = 2

• चरण 3

तीसरे चरण में शामिल हैं पाया गया मान बदलें किसी भी समीकरण में दूसरे चरण में। इस प्रकार,

एक्स = -7 + 2y

एक्स = -7 + 2(2)

एक्स = -7 +4

एक्स = -3

इसलिए, सिस्टम समाधान एस {(-3, 2)} है।

जोड़ विधि

जोड़ विधि करने के लिए, हमें यह याद रखना चाहिए कि अज्ञात में से किसी एक के गुणांक विपरीत होने चाहिए, अर्थात्, विपरीत चिह्नों के साथ समान संख्याएँ होना। आइए प्रतिस्थापन की विधि की उसी प्रणाली पर विचार करें।

देखें कि अज्ञात गुणांक आप हमारी स्थिति को पूरा करें, इसलिए यह समीकरण प्राप्त करने के लिए सिस्टम के प्रत्येक कॉलम को जोड़ने के लिए पर्याप्त है:

4x + 0y = -12

4x = -12

एक्स = -3

और हमारे पास मौजूद किसी भी समीकरण में x के मान को प्रतिस्थापित करना:

एक्स - 2y = -7

-3 - 2y = -7

-2y = -7 + 3

(-1) (-2y) = -4 (-1)

2y = 4

वाई = 2

अत: निकाय का हल S {(-3, 2)} है।

यह भी पढ़ें: समीकरण प्रणालियों द्वारा समस्या हल करना

रैखिक प्रणालियों का वर्गीकरण

हम समाधानों की संख्या के आधार पर एक रैखिक प्रणाली को वर्गीकृत कर सकते हैं। एक रैखिक प्रणाली में वर्गीकृत किया जा सकता है संभव और निर्धारित, संभव औरदुविधा में पड़ा हुआ तथा असंभव.

→ सिस्टम संभव है और निर्धारित (एसपीडी): अद्वितीय समाधान

→ संभावित और अनिश्चित प्रणाली (एसपीआई): एक से अधिक समाधान

→ असंभव प्रणाली: कोई समाधान नहीं

योजना देखें:

व्यायाम हल

प्रश्न 1 - (व्युनेस्प) एक यांत्रिक पेंसिल, तीन नोटबुक और एक पेन की कीमत 33 रीस एक साथ है। दो मैकेनिकल पेंसिल, सात नोटबुक और दो पेन की कीमत एक साथ 76 रीस है। एक यांत्रिक पेंसिल, एक नोटबुक और एक पेन का एक साथ, रीसिस में मूल्य है:

ए) 11

बी) 12

ग) 13

घ) 17

ई) 38

समाधान

आइए अज्ञात को असाइन करें एक्स प्रत्येक यांत्रिक पेंसिल की कीमत पर, आप प्रत्येक नोटबुक की कीमत पर और जेड हर कलम की कीमत पर बयान से, हमें यह करना होगा:

शीर्ष समीकरण को -2 से गुणा करने पर हमें यह करना होगा:

पद में पद जोड़ने पर हमें यह करना होगा:

वाई = 10

value के मान को बदलना आप पहले समीकरण में पाया गया, हमें यह करना होगा:

एक्स + 3y + जेड = 33

एक्स + 30 + जेड = 33

एक्स + जेड = 3

इसलिए, एक पेंसिल, एक नोटबुक और एक पेन का मूल्य है:

एक्स + वाई + जेड = 13 रीसिस।

वैकल्पिक सी

रॉबसन लुइज़ो द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-duas-equacoes.htm