Argand-Gauss विमान (जटिल विमान)

हे अरगंड-गॉस योजना यह दो अक्षों से बना है: एक लंबवत (काल्पनिक अक्ष के रूप में जाना जाता है) और एक क्षैतिज रूप से (वास्तविक अक्ष के रूप में जाना जाता है)। हो सकता ज्यामितीय रूप से प्रतिनिधित्व जटिल आंकड़ेजो बीजगणितीय रूप में हैं।

इस ज्यामितीय प्रतिनिधित्व के माध्यम से, यह संभव है कुछ अवधारणाएँ विकसित करें, जैसे कि मॉड्यूल और तर्क एक जटिल संख्या का। सम्मिश्र संख्याओं को बीजगणितीय रूप से z = a + bi द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए उन्हें बिंदुओं (a, b) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे एक प्रत्यय कहा जाता है।

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सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण

Argand-Gauss समतल में सम्मिश्र संख्याओं का निरूपण

जटिल विमान, जिसे अरगंड-गॉस विमान के रूप में भी जाना जाता है, a. से अधिक कुछ नहीं हैकार्तीय विमान जटिल संख्याओं के लिए. Argand-Gauss विमान में, एक जटिल संख्या को एक बिंदु के रूप में प्रस्तुत करना संभव है, जिसे एक प्रत्यय के रूप में जाना जाता है। जटिल योजना के विकास के साथ, वहाँ है निम्न का विकास विश्लेषणात्मक ज्यामिति जटिल संख्याओं के लिए, जो मॉड्यूल और तर्क जैसी महत्वपूर्ण अवधारणाओं को विकसित करना संभव बनाता है।

बीजगणितीय रूप में प्रदर्शित एक सम्मिश्र संख्या है जेड = ए+बीआई, किस पर असली हिस्सा है और ख काल्पनिक हिस्सा है। इसलिए, सम्मिश्र संख्याओं को एक बिंदु (ए, बी) के रूप में दर्शाया जाता है. Argand-Gaus समतल में, क्षैतिज अक्ष वास्तविक भाग की धुरी है और ऊर्ध्वाधर अक्ष काल्पनिक भाग की धुरी है।

प्रत्यय

हे एक जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले विमान पर बिंदु इसे प्रत्यय भी कहते हैं। प्रतिनिधित्व के तीन संभावित मामले हैं: काल्पनिक प्रत्यय, वास्तविक प्रत्यय और शुद्ध काल्पनिक प्रत्यय।

• काल्पनिक प्रत्यय

एक प्रत्यय को काल्पनिक के रूप में जाना जाता है जब सम्मिश्र संख्या में दोनों होते हैं a वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग गैर-शून्य. इस मामले में ए, बी और उनके संबंधित संकेतों के मूल्यों के आधार पर प्रत्यय चार चतुर्भुजों में से किसी एक में एक बिंदु है।

उदाहरण:

सम्मिश्र संख्याओं का निरूपण देखें z₁ = 2 +3i, z₂ = -3 - 4i, z₃ = -2 + 2i और z₄= 1 - 4i।

यह भी देखें: सम्मिश्र संख्याओं वाले गुण

• शुद्ध काल्पनिक प्रत्यय

एक सम्मिश्र संख्या को शुद्ध काल्पनिक के रूप में जाना जाता है, जब आपका वास्तविक भाग शून्य के बराबर हो, अर्थात्, z = द्वि। ध्यान दें कि इस मामले में पहला निर्देशांक हमेशा शून्य होता है, तो चलिए प्रकार के बिंदुओं (0, b) के साथ काम करते हैं। Argand-Gauss विमान में चिह्नित करते समय, एक शुद्ध काल्पनिक प्रत्यय हमेशा काल्पनिक अक्ष से संबंधित एक बिंदु होगा, यानी ऊर्ध्वाधर अक्ष के लिए।

उदाहरण:

सम्मिश्र संख्याओं का निरूपण देखें z₁ = 2i और z₂= -3i।

• वास्तविक प्रत्यय

एक सम्मिश्र संख्या को. के रूप में वर्गीकृत किया जाता है वास्तविक संख्याआपका कब काल्पनिक भाग शून्य के बराबर होता है, अर्थात्, z = a. इस मामले में, दूसरा निर्देशांक हमेशा शून्य होता है, इसलिए हम प्रकार के बिंदुओं (ए, 0) के साथ काम करेंगे, इसलिए काल्पनिक भाग शून्य है और प्रत्यय जटिल विमान के वास्तविक अक्ष में समाहित हैं।

उदाहरण:

सम्मिश्र संख्याओं का निरूपण देखें z₁ = 2 और z₂ = -4.

जटिल संख्या मॉड्यूल

एक सम्मिश्र संख्या को निरूपित करते समय, मान लीजिए कि P (a, b) सम्मिश्र संख्या z = a + bi का प्रत्यय है। हम सम्मिश्र संख्या के मॉड्यूल को जानते हैं a बिंदु P से मूल बिंदु की दूरी. एक सम्मिश्र संख्या z का मापांक |z| द्वारा निरूपित किया जाता है। |z| का मान ज्ञात करने के लिए हम. का प्रयोग करते हैं पाइथागोरस प्रमेय.

|z|² =a²+b²

हम इसके द्वारा भी प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:

उदाहरण:

सम्मिश्र संख्या z = 12 -5i का मापांक ज्ञात कीजिए।

|z|² = १२² + (-५) .

|z|² १४४ + २५

|z|²= १६९

|z|=√169

|जेड| =13

साथ ही पहुंचें: परिमेय संख्याएँ क्या हैं?

जटिल संख्या तर्क

हम जानते हैं कैसे बहस एक सम्मिश्र संख्या का हे कोण सदिश OP और वास्तविक अक्ष से बनता है। किसी संख्या का तर्क arg(z) = द्वारा दर्शाया जाता है।

कोण ज्ञात करने के लिए हम. का प्रयोग करते हैं त्रिकोणमितीय अनुपात साइन और कोसाइन।

तर्क का मूल्य ज्ञात करने के लिए, ज्या और कोज्या जानने के लिए, बस इन त्रिकोणमितीय अनुपातों के लिए मूल्यों की तालिका देखें. आमतौर पर कॉलेज की प्रवेश परीक्षाओं में इस विषय पर तर्क दिया जाता है: उल्लेखनीय कोण.

उदाहरण:

सम्मिश्र संख्या तर्क z = 1 + i ज्ञात कीजिए।

आइए पहले z के मापांक की गणना करें।

|z|² = 1² + 1²

|z|² = १+१

|z|² = 2

|जेड| = 2

जानने |z|, हम गणना कर सकते हैं ज्या और कोज्या कोण का।

वह कोण जिसमें साइन और कोसाइन पाए गए मानों के साथ 45º है।

हल किए गए अभ्यास

प्रश्न 1 - सम्मिश्र संख्या z = 3+ i का तर्क क्या है?

ए) 30 वां

बी) 45वें

सी) ६०वें

डी) 90º

ई) 120 वां

संकल्प

वैकल्पिक सी.

हम जानते हैं कि a = 3 और b = 1, इसलिए:

प्रश्न 2 - निम्नलिखित जटिल योजना में, कुछ संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया गया है। योजना का विश्लेषण करते हुए, हम कह सकते हैं कि अंक शुद्ध काल्पनिक संख्याओं के निरूपण हैं:

ए) एम, एन और आई।

बी) पी और आई।

सी) एल और जी।

डी) ओ, आई, जी।

ई) के, जे और एल।

संकल्प

वैकल्पिक बी.

सम्मिश्र तल में एक शुद्ध काल्पनिक संख्या की पहचान करने के लिए, यह आवश्यक है कि यह ऊर्ध्वाधर अक्ष के शीर्ष पर हो, जो इस मामले में, बिंदु P और I हैं।

राउल रोड्रिग्स डी ओलिवेरा द्वारा
गणित अध्यापक

स्रोत: ब्राजील स्कूल - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm